Funzioni inverse

C = (5/9)(F − 32) trasforma 75 °F in circa 24 °C. L'inversa, F = (9/5)C + 32, trasforma 26 °C in circa 79 °F.

Betty legge in Fahrenheit una previsione in Celsius

OpenStax racconta di Betty, che sta per andare a Milano e ragiona in Fahrenheit. La formula C = (5/9)(F − 32) converte Fahrenheit in Celsius: 75 °F sono (5/9)(43), circa 24 °C. Ma la previsione è in Celsius e risolvere ogni volta l'equazione rispetto a F sarebbe scomodo. Le serve una seconda formula che riceva una temperatura Celsius e restituisca Fahrenheit. È una funzione inversa: le uscite della prima diventano ingressi della seconda, e viceversa.

Il −1 in f⁻¹ non è un esponente

L'inversa di f si scrive f⁻¹ e si legge «f inversa». Il −1 fa parte del nome, non è un esponente: f⁻¹(x) non è 1/f(x). La proprietà fondamentale è che le due funzioni annullano l'una l'effetto dell'altra. Se f(a) = b, allora f⁻¹(b) = a, quindi f⁻¹(f(x)) = x e f(f⁻¹(x)) = x. Per esempio, se f(3) = 10, allora f⁻¹(10) = 3, senza bisogno di formule. Il dominio di f⁻¹ è l'insieme dei valori di f, e l'insieme dei valori di f⁻¹ è il dominio di f.

Isola x, poi scambia le lettere

Per trovare l'inversa da una formula, scrivi y = f(x), isola x e poi scambia i nomi delle lettere. Per f(x) = 2x + 1: y = 2x + 1, quindi y − 1 = 2x e x = (y − 1)/2. Rinominando ottieni f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Verifica: f(3) = 7 e f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Per Betty, risolvere C = (5/9)(F − 32) rispetto a F dà F = (9/5)C + 32: 26 °C diventano 26 × 9/5 + 32 = 78.8, circa 79 °F, e 20 °C diventano 68 °F. Annulla i passaggi in ordine inverso: f raddoppia e aggiunge 1, quindi f⁻¹ sottrae 1 e dimezza.

x² manda 3 e −3 allo stesso 9

Non tutte le funzioni sono invertibili. f(x) = x² manda sia 3 sia −3 a 9: una macchina inversa che riceve 9 non saprebbe quale restituire. Una funzione ha un'inversa esattamente quando è iniettiva, come puoi verificare con il test della retta orizzontale della prima unità. OpenStax risolve il problema di x² restringendo il dominio a [0, ∞). Su quella metà la funzione è iniettiva e l'inversa è √x. Ecco perché √9 indica 3 e non −3.

Il grafico di f⁻¹ è quello di f riflesso rispetto a y = x

Scambiare ingressi e uscite scambia le coordinate di ogni punto: (a, b) su f diventa (b, a) su f⁻¹. Geometricamente è una riflessione rispetto alla diagonale y = x. Il grafico dell'inversa è quindi l'immagine speculare dell'originale rispetto a quella retta. Per f(x) = 2x + 1, (1, 3) si riflette in (3, 1), che appartiene a y = (x − 1)/2. Nel laboratorio sposta il punto lungo f e osserva il punto corrispondente su f⁻¹. Scegli f(x) = x² su tutti i reali: l'immagine riflessa diventa una parabola laterale che non supera il test della retta verticale.

Caricamento

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f(x) = 2x + 1 (blu), y = x (tratteggiata) e f⁻¹(x) = (x − 1)/2 (arancione). Il punto (1, 3) e il suo riflesso (3, 1). Prova x³, poi x² su tutti i reali.

Qual è l'inversa di f(x) = 2x + 1?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
Per f(x) = 2x + 1, quanto vale f⁻¹(7)?
Se f(3) = 10, quanto vale f⁻¹(10)?
Per f(x) = x³, quanto vale f⁻¹(8)?
f(x) = x², definita su tutti i reali, ha una funzione inversa?
- No, non è iniettiva
- Sì, √x
- Sì, 1/x²
- Sì, −x²
Che cosa significa f⁻¹(x)?
- La funzione inversa di f calcolata in x
- 1/f(x)
- f(x) elevato alla potenza −1, come numero
- −f(x)
(2, 5) è sul grafico di f. Quale punto è sul grafico di f⁻¹?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
Converti 20 °C in Fahrenheit con F = (9/5)C + 32.
Per f(x) = x/2 − 3, quanto vale f⁻¹(1)?
Quale uguaglianza vale sempre per una funzione f e la sua inversa?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)

Funzione inversa f⁻¹	Scambia ingressi e uscite: f(a) = b significa f⁻¹(b) = a
Trovare f⁻¹	Scrivi y = f(x), isola x, rinomina le lettere
Quali funzioni hanno un'inversa	Le funzioni iniettive (test della retta orizzontale)
Grafico di f⁻¹	L'immagine speculare di f rispetto alla retta y = x

Errori comuni

Scrivere f⁻¹(x) = 1/(3x − 6) per f(x) = 3x − 6. Quello è il reciproco 1/f(x). Annulla invece i passaggi: f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Verifica con 4: f(4) = 6 e f⁻¹(6) = 4, mentre 1/f(4) = 1/6.
Invertire f(x) = 2x + 1 come «dimezza, poi sottrai 1», ottenendo x/2 − 1. f raddoppia e poi aggiunge 1, quindi l'inversa procede a ritroso: prima sottrae 1, poi dimezza. Per 7, x/2 − 1 dà 2.5, ma f(2.5) = 6, non 7.
Riflettere f rispetto all'asse x per disegnare f⁻¹. La riflessione rispetto all'asse x dà −f(x). L'inversa scambia le coordinate, cioè riflette rispetto a y = x: (2, 7) su f(x) = 3x + 1 diventa (7, 2), non (2, −7).

Nota per l'insegnanteDue punti creano difficoltà. f⁻¹ sembra una potenza: dedica un minuto a una funzione concreta, calcolando f⁻¹(5) accanto a 1/f(5). E «scambia x e y» può sembrare un trucco. Costruisci prima una tabella per f, scambia le colonne e solo dopo isola x, così lo scambio ha un motivo. Rimanda il caso di x² con dominio ristretto finché l'iniettività non è chiara.

Punti chiave

f⁻¹ annulla f: f⁻¹(f(x)) = x e f(f⁻¹(x)) = x.
f⁻¹(x) non è 1/f(x).
Per trovarla: y = f(x), isola x, scambia le lettere.
Solo le funzioni iniettive hanno un'inversa; il grafico di f⁻¹ è quello di f riflesso rispetto a y = x.

Fonti di questo corso (8)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

Consultato il: 2026-10-18