Che cos'è una funzione

Associando a ogni numero da 1 a 5 il suo doppio si ottengono cinque coppie, da (1, 2) a (5, 10). Poiché a ogni ingresso corrisponde esattamente un'uscita, questa corrispondenza è una funzione.

Un distributore in cui ogni pulsante eroga una bevanda

Immagina un distributore vicino alla mensa scolastica. È un esempio inventato. Premi il pulsante 1 ed esce una lattina di sidro. Il pulsante 2 dà una spremuta d'arancia. Anche il pulsante 3 dà sidro: nessun problema, due pulsanti possono erogare la stessa bevanda. Ora immagina che il pulsante 1 dia sidro il lunedì e acqua il martedì, senza che cambi nient'altro. Non potresti più dire che cosa fa quel pulsante. Una funzione impone proprio questo limite: ogni ingresso, qui un pulsante, deve portare a una sola uscita, qui una bevanda.

Coppie ordinate: prima gli ingressi, poi le uscite

Molte grandezze dipendono da altre. Il peso di un bambino cambia con l'età; la quota di un aereo cambia con la distanza percorsa. OpenStax parte dall'idea di relazione, cioè un insieme di coppie ordinate. Nelle coppie (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) e (5, 10), i primi numeri sono gli ingressi e i secondi le uscite. L'insieme degli ingressi, {1, 2, 3, 4, 5}, è il dominio; l'insieme delle uscite, {2, 4, 6, 8, 10}, è l'insieme dei valori. Gli ingressi si chiamano anche variabile indipendente, di solito x, e le uscite variabile dipendente, di solito y.

Una funzione è una relazione che associa a ogni ingresso esattamente un'uscita. La relazione del doppio soddisfa questa condizione: 3 va a 6 e a nessun altro valore. Ora associa le parole dispari e pari ai numeri da 1 a 5: (dispari, 1), (pari, 2), (dispari, 3), (pari, 4), (dispari, 5). L'ingresso dispari porta a tre uscite diverse, 1, 3 e 5, quindi non è una funzione. Nota che cosa la regola non vieta: due ingressi possono avere la stessa uscita. In un listino, due bevande possono costare uguale e il prezzo resta una funzione del prodotto.

f(4) significa: sostituisci x con 4

Indichiamo le funzioni con lettere e scriviamo f(x), che si legge «f di x», per l'uscita di f corrispondente all'ingresso x. Non significa f per x. Se f(x) = 3x − 2, allora f(4) significa: sostituisci x con 4 e calcola, 3 × 4 − 2 = 10. La coppia (4, 10) appartiene al grafico di f. Puoi anche procedere al contrario: per trovare l'ingresso che dà f(x) = 13, risolvi 3x − 2 = 13, da cui x = 5. Pensa a una funzione come a una macchina con una regola scritta sul fianco: entra un numero, la regola lo trasforma ed esce un numero.

Una retta verticale incontra una circonferenza due volte

In un grafico, un ingresso è una posizione sull'asse x e le sue uscite sono le altezze del grafico sopra o sotto quel punto. Un controllo rapido consiste nel far scorrere una retta verticale sulla figura. Se una retta verticale incontra il grafico più di una volta, a quella x corrisponde più di un'uscita e il grafico non rappresenta una funzione. Una parabola supera il test; una circonferenza no, perché una retta verticale che la attraversa al centro la incontra in alto e in basso. Anche x = y² − 2, una parabola disposta lateralmente, non lo supera.

Un secondo test, con una retta orizzontale, risponde a una domanda diversa. Se ogni retta orizzontale incontra il grafico di una funzione al massimo una volta, ogni uscita proviene da un solo ingresso e la funzione si dice iniettiva. La retta y = 2x − 1 è iniettiva; y = x² − 3 no, perché 1 e −1 danno entrambi −2. Le funzioni iniettive sono importanti nell'ultima unità: sono proprio quelle che si possono percorrere a ritroso. Nel laboratorio scegli una curva, trascina la retta verticale e attiva il test della retta orizzontale.