Wat is een functie?
Elk getal van 1 tot 5 koppelen aan zijn dubbele geeft vijf paren, van (1, 2) tot (5, 10). Elke invoer heeft precies één uitvoer: het is een functie.
Een automaat waar elke knop één drankje geeft
Denk aan een verzonnen automaat bij de schoolkantine. Knop 1 geeft cider, knop 2 sinaasappelsap en knop 3 ook cider. Geen probleem: twee knoppen mogen hetzelfde geven. Maar stel dat knop 1 maandag cider en dinsdag water geeft, zonder verdere verandering. Dan weet je niet meer wat knop 1 doet. Daar ligt de grens: elke invoer, hier een knop, moet precies één uitvoer, hier een drankje, geven.
Geordende paren: eerst invoer, dan uitvoer
Veel grootheden hangen van andere af. Kindergewicht verandert met leeftijd; vlieghoogte met afgelegde afstand. OpenStax begint met een relatie: een verzameling geordende paren. Bij (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) en (5, 10) zijn de eerste getallen invoer en de tweede uitvoer. Invoerverzameling {1, 2, 3, 4, 5} heet domein; uitvoerverzameling {2, 4, 6, 8, 10} bereik. Invoer is de onafhankelijke variabele, meestal x; uitvoer de afhankelijke, meestal y.
Een functie is een relatie met precies één uitvoer per invoer. Verdubbelen voldoet: 3 gaat alleen naar 6. Koppel nu oneven en even aan 1 tot 5: (oneven, 1), (even, 2), (oneven, 3), (even, 4), (oneven, 5). ‘Oneven’ geeft drie uitvoerwaarden, 1, 3 en 5: geen functie. Wat mag wel? Verschillende invoer mag dezelfde uitvoer hebben: twee drankjes met dezelfde prijs maken prijs nog steeds een functie van het artikel.
f(4) betekent: vul 4 voor x in
We geven functies namen met letters. Voor de uitvoer van f bij invoer x schrijven we f(x), uitgesproken als ‘f van x’. Dat betekent niet f maal x. Als f(x) = 3x − 2, betekent f(4): vervang x door 4 en reken uit, dus 3 × 4 − 2 = 10. Het paar (4, 10) ligt op de grafiek van f. Je kunt ook de andere kant op: om de invoer te vinden die f(x) = 13 geeft, los je 3x − 2 = 13 op. Dat geeft x = 5. Zie een functie als een machine met een regel op de zijkant. Er gaat een getal in, de regel wordt toegepast en er komt één getal uit.
Een verticale lijn door een cirkel snijdt tweemaal
In een grafiek is een invoer een plaats op de x-as. De uitvoerwaarden zijn de hoogten van de grafiek erboven of eronder. Een snelle test is daarom een verticale lijn over de tekening te schuiven. Snijdt een verticale lijn de grafiek meer dan één keer, dan heeft die x meer dan één uitvoer en is de grafiek geen functie. Een parabool doorstaat de test. Een cirkel niet, want een verticale lijn door het midden ontmoet hem boven en onder. Ook de grafiek van x = y² − 2, een op zijn zij liggende parabool, faalt.
Een tweede test gebruikt een horizontale lijn en stelt een andere vraag. Snijdt elke horizontale lijn de functiegrafiek hoogstens één keer, dan komt elke uitvoer maar van één invoer. Zo'n functie heet een-op-een. De lijn y = 2x − 1 is een-op-een. y = x² − 3 is dat niet, want 1 en −1 geven allebei −2. Een-op-eenfuncties zijn in het laatste hoofdstuk belangrijk, want alleen die kun je omkeren. Kies in het practicum een kromme, sleep de verticale lijn en schakel Horizontalelijntest in.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
- Is {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} een functie?
- Ja
- Nee
- Is {(oneven, 1), (even, 2), (oneven, 3)} een functie?
- Nee
- Ja
- Als f(x) = 3x − 2, wat is f(4)?
- Als f(x) = x² + 1, wat is f(−3)?
- Welke grafiek faalt bij de verticale-lijntest?
- x² + y² = 16
- y = x² − 3
- y = 2x − 1
- y = |x| − 2
- Is y een functie van x bij x = y²?
- Nee
- Ja
- Als f(x) = 2x + 5, welke x geeft f(x) = 11?
- Als f(x) = x², wat is f(2) + f(3)?
- Welke functie is een-op-een?
- y = 2x − 1
- y = x² − 3
- y = |x| − 2
- y = 5
- In welk boek stelde Euler in 1748 het functiebegrip centraal?
- Introductio in analysin infinitorum
- La Géométrie
- Ars Magna
- Liber embadorum
| Functie | Een relatie met precies één uitvoer per invoer |
| Domein | De invoerverzameling |
| Bereik | De uitvoerverzameling |
| Verticale-lijntest | Ergens twee snijpunten: geen functie |
| Een-op-een | Elke uitvoer komt van één invoer |
- f(0) lezen als f × 0 = 0 bij f(x) = 3x − 2. f(0) is de uitvoer bij 0: 3 × 0 − 2 = −2. Niets wordt met f vermenigvuldigd.
- {(1, 5), (2, 5), (3, 7)} geen functie noemen omdat 5 tweemaal staat. Het is wel een functie. Alleen één invoer met twee uitvoerwaarden is verboden. 1 en 2 mogen beide naar 5, zoals twee knoppen dezelfde cider geven.
- Bij f(x) = x² schrijven: f(2 + 1) = f(2) + f(1). Bereken eerst de invoer. f(3) = 9, maar f(2) + f(1) = 4 + 1 = 5.
- y = x² − 3 geen functie noemen omdat een horizontale lijn tweemaal snijdt. De horizontale test controleert een-op-een, niet functie. Elke verticale lijn snijdt y = x² − 3 eenmaal: wel een functie, niet een-op-een.
- Een functie geeft elke invoer precies één uitvoer.
- f(x) is uitvoer bij x, niet f maal x.
- Verticale-lijntest: tweemaal snijden betekent geen functie.
- Horizontale-lijntest: hoogstens eenmaal snijden betekent een-op-een.
Bronnen van deze cursus (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Geraadpleegd: 2026-10-18