Qué es una función

Al emparejar cada número del 1 al 5 con su doble se obtienen cinco pares, desde (1, 2) hasta (5, 10). Como cada entrada tiene exactamente una salida, esta correspondencia es una función.

Una máquina expendedora donde cada botón entrega una bebida

Imagina una máquina expendedora junto a la cafetería de una escuela. Es un ejemplo inventado. Pulsas el botón 1 y cae una lata de sidra. El botón 2 da jugo de naranja. El botón 3 también da sidra, y no hay ningún problema: dos botones pueden entregar la misma bebida. Ahora imagina que el botón 1 da sidra el lunes y agua el martes, sin que cambie nada más. Ya no podrías decir qué hace el botón 1. Ese es el límite que establece una función. Cada entrada, aquí un botón, debe conducir a exactamente una salida, aquí una bebida.

Pares ordenados: primero las entradas, después las salidas

Muchas cantidades dependen de otras. El peso de un niño cambia con la edad; la altitud de un avión cambia con la distancia recorrida. OpenStax parte de la idea de relación, que es simplemente un conjunto de pares ordenados. En los pares (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) y (5, 10), los primeros números son las entradas y los segundos, las salidas. El conjunto de entradas, {1, 2, 3, 4, 5}, es el dominio, y el conjunto de salidas, {2, 4, 6, 8, 10}, es el rango. Las entradas también se llaman variable independiente, normalmente x, y las salidas, variable dependiente, normalmente y.

Una función es una relación en la que cada entrada conduce a exactamente una salida. La relación que duplica los números cumple esta condición: 3 va a 6 y a ningún otro valor. Ahora empareja las palabras impar y par con los números del 1 al 5: (impar, 1), (par, 2), (impar, 3), (par, 4), (impar, 5). Aquí la entrada impar conduce a tres salidas distintas, 1, 3 y 5, así que esta relación no es una función. Fíjate en lo que la regla no prohíbe. Dos entradas pueden compartir una salida; en una lista de precios, dos bebidas pueden costar lo mismo y el precio sigue siendo una función del producto.

f(4) significa: sustituye x por 4

Nombramos las funciones con letras y escribimos f(x), que se lee «f de x», para indicar la salida de f cuando la entrada es x. No significa f multiplicado por x. Si f(x) = 3x − 2, entonces f(4) significa sustituir x por 4 y calcular: 3 × 4 − 2 = 10. El par (4, 10) está en la gráfica de f. También puedes ir en sentido contrario: para hallar qué entrada da f(x) = 13, resuelve 3x − 2 = 13; así obtienes x = 5. Piensa en una función como una máquina que lleva escrita una regla. Entra un número, se aplica la regla y sale un número.

Una recta vertical que atraviesa un círculo lo corta dos veces

En una gráfica, una entrada es una posición del eje x y sus salidas son las alturas de la gráfica por encima o por debajo de ella. Una prueba rápida consiste en recorrer la figura con una recta vertical. Si alguna recta vertical corta la gráfica más de una vez, ese valor de x tiene más de una salida y la gráfica no es una función. Una parábola pasa la prueba; un círculo no, porque una recta vertical que atraviesa su centro lo corta arriba y abajo. La gráfica de x = y² − 2, una parábola de lado, tampoco pasa la prueba.

Una segunda prueba, con una recta horizontal, responde a otra pregunta. Si cada recta horizontal corta la gráfica de una función como máximo una vez, cada salida procede de una sola entrada y la función se llama inyectiva. La recta y = 2x − 1 es inyectiva; y = x² − 3 no lo es, porque tanto 1 como −1 dan −2. Las funciones inyectivas importan en la última unidad, porque son precisamente las que se pueden recorrer en sentido inverso. En el laboratorio, elige una curva, arrastra la recta vertical y activa la prueba de la recta horizontal.