함수란 무엇인가

1부터 5까지의 수를 각각 두 배와 짝지으면 (1, 2)부터 (5, 10)까지 다섯 쌍이 나옵니다. 입력마다 출력이 꼭 하나씩이므로 이 짝짓기는 함수입니다.

버튼 하나에 음료 하나가 나오는 자판기

학교 매점 옆 자판기를 하나 떠올려 보세요. 지어낸 예입니다. 1번 버튼을 누르면 사이다 캔이 떨어지고, 2번 버튼을 누르면 오렌지 주스가 나옵니다. 3번 버튼에서도 사이다가 나온다면 어떨까요? 아무 문제가 없습니다. 버튼 두 개가 같은 음료를 내도 자판기는 멀쩡히 돌아갑니다. 곤란한 경우는 따로 있습니다. 아무것도 바꾸지 않았는데 1번 버튼이 월요일에는 사이다를, 화요일에는 생수를 내놓는다면 1번 버튼이 무엇을 주는지 말할 수 없게 됩니다. 함수와 함수가 아닌 것을 가르는 기준이 바로 여기 있습니다. 입력(버튼) 하나를 넣으면 출력(음료)이 꼭 하나 나와야 합니다.

순서쌍의 앞은 입력, 뒤는 출력입니다

아이의 몸무게는 나이에 따라, 비행기의 고도는 날아간 거리에 따라 달라집니다. OpenStax 교재는 이런 관계를 순서쌍을 모은 집합으로 먼저 정리합니다. 순서쌍 (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)에서 앞의 수가 입력이고 뒤의 수가 출력입니다. 입력을 모은 집합 {1, 2, 3, 4, 5}가 정의역, 출력을 모은 집합 {2, 4, 6, 8, 10}이 치역입니다. 앞의 자판기로 말하면 (1번, 사이다), (2번, 오렌지 주스), (3번, 사이다)가 순서쌍입니다. 입력은 보통 x로 쓰고 독립변수라고도 부릅니다. 출력은 y로 쓰고 종속변수라고도 부릅니다. 중학교 1~3학년군 성취기준 [9수02-14]는 이 내용을 「함수의 개념을 이해하고, 함숫값을 구할 수 있다」고 적어 두었습니다.

함수는 입력 하나에 출력이 꼭 하나 정해지는 관계입니다. 두 배 관계는 이 조건에 맞습니다. 3을 넣으면 6이 나오고, 다른 수는 나오지 않습니다. 이번에는 1부터 5까지의 수에 「홀수」, 「짝수」라는 말을 짝지어 봅니다. (홀수, 1), (짝수, 2), (홀수, 3), (짝수, 4), (홀수, 5)가 나옵니다. 입력 「홀수」 하나에서 출력이 1, 3, 5 세 개나 나오니 이 관계는 함수가 아닙니다. 앞의 자판기로 치면 같은 버튼에서 음료가 세 가지 나오는 꼴입니다. 반대로 서로 다른 입력이 같은 출력을 내는 것은 괜찮습니다. 메뉴판에서 음료 두 가지의 값이 같아도, 가격은 여전히 품목의 함수입니다.

함수입니다. 왼쪽의 입력마다 나가는 화살표가 꼭 하나입니다.

f(4)는 x 자리에 4를 넣으라는 뜻입니다

함수에는 f, g 같은 문자로 이름을 붙이고, 입력 x에 대한 출력을 f(x)로 씁니다. 읽을 때는 「f x」라고 읽습니다. f와 x를 곱한다는 뜻이 아닙니다. 교육과정 용어로 f(x)의 값을 함숫값이라고 합니다. f(x) = 3x − 2라면 f(4)는 x 자리에 4를 넣어 3 × 4 − 2 = 10을 계산하라는 말이고, 그래서 점 (4, 10)이 f의 그래프 위에 있습니다. 거꾸로 물을 수도 있습니다. f(x) = 13이 되게 하는 입력은 무엇일까요? 3x − 2 = 13을 풀면 x = 5입니다. f(4) = 10을 「f에 4를 넣으면 10」이라고 말로 풀어 읽어도 좋습니다. 함수를 옆면에 규칙이 적힌 기계로 생각하면 편합니다. 수 하나가 들어가면 규칙대로 계산되고, 수 하나가 나옵니다.

입력 4가 f에 들어가고 출력 f(4) = 10이 나옵니다.

원을 지나는 세로선은 원과 두 번 만납니다

그래프에서는 x축 위의 위치가 입력이고, 그 위치 위나 아래에 있는 그래프의 높이가 출력입니다. 그래서 세로선 하나를 그림 왼쪽에서 오른쪽까지 쓸고 지나가 보면 함수인지 금방 알 수 있습니다. 어느 자리에서든 세로선이 그래프와 두 번 이상 만나면 그 x에 출력이 여럿 있다는 뜻이니 함수가 아닙니다. 포물선은 이 검사를 통과합니다. 원은 통과하지 못합니다. 원의 한가운데를 지나는 세로선이 원의 위쪽과 아래쪽에서 한 번씩 만나기 때문입니다. 옆으로 누운 포물선 x = y² − 2도 같은 까닭으로 함수가 아닙니다. 아래 실험실의 원 x² + y² = 16에 세로선을 x = 1로 두면 두 점에서 만나고, 아래 칸에 「만나는 점 2」가 나옵니다.

가로선으로 하는 두 번째 검사는 다른 것을 묻습니다. 어떤 가로선도 그래프와 많아야 한 번만 만난다면, 출력 하나는 입력 하나에서만 나옵니다. 이런 함수를 일대일함수라고 합니다. 고등학교 공통수학2에서 쓰는 용어입니다. 직선 y = 2x − 1은 일대일함수입니다. y = x² − 3은 1을 넣어도 −1을 넣어도 −2가 나오니 일대일함수가 아닙니다. 이 구분은 마지막 단원에서 다시 씁니다. 거꾸로 돌릴 수 있는 함수가 바로 일대일함수이기 때문입니다. 아래 실험실에서 곡선을 고르고 세로선을 끌어 본 다음, 가로선 검사도 켜 보세요.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

x = 1에 세로선을 그은 원 x² + y² = 16입니다. 두 번 만나므로 x의 함수가 아닙니다. 포물선이나 삼차 곡선으로 바꾸면 세로선이 두 번 만나는 일이 없습니다.

배경함수라는 낱말은 아주 천천히 수학에 들어왔습니다. 맥튜터(MacTutor)의 기록에 따르면 라이프니츠는 1673년 8월, 도형 안에서 「어떤 기능을 하는」 선이라고 쓰면서 이 말을 일상적인 뜻으로 썼습니다. 그 뒤 요한 베르누이는 1694년 9월 2일에 쓴 편지에서 함수를 변수와 상수로 만든 양이라고 설명했습니다. 오일러는 1748년에 낸 『무한 해석 입문(Introductio in analysin infinitorum)』에서 이 생각을 수학의 중심에 놓았고, 1755년에는 훨씬 넓은 정의를 내놓았습니다. 어떤 양이 다른 양에 기대어 있어서 다른 양이 바뀌면 함께 바뀐다면, 앞의 양을 뒤의 양의 함수라고 한다는 정의입니다. 그리고 1837년 디리클레는 한 걸음 더 나아가 식이 전혀 없는 규칙도 함수로 받아들였습니다. 모든 유리수에는 0을, 모든 무리수에는 1을 주는 규칙이 그런 예입니다. 「x의 값에 y의 값이 대응하고, 이를 y = f(x)로 쓴다」는 오늘날 교과서의 문장은 1923년 구르사가 내놓은 정의와 거의 같습니다.

{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}은 함수일까요?
- 예
- 아니요
{(홀수, 1), (짝수, 2), (홀수, 3)}은 함수일까요?
- 아니요
- 예
f(x) = 3x − 2일 때 f(4)는 얼마일까요?
f(x) = x² + 1일 때 f(−3)은 얼마일까요?
세로선 검사를 통과하지 못하는 그래프는 어느 것일까요?
- x² + y² = 16
- y = x² − 3
- y = 2x − 1
- y = |x| − 2
x = y²에서 y는 x의 함수일까요?
- 아니요
- 예
f(x) = 2x + 5일 때 f(x) = 11이 되는 x는 얼마일까요?
f(x) = x²일 때 f(2) + f(3)은 얼마일까요?
일대일 함수는 어느 것일까요?
- y = 2x − 1
- y = x² − 3
- y = |x| − 2
- y = 5
1748년 오일러가 함수 개념을 중심에 놓은 책은 무엇일까요?
- 무한 해석 입문(Introductio in analysin infinitorum)
- 기하학(La Géométrie)
- 위대한 술법(Ars Magna)
- 넓이의 책(Liber embadorum)

함수	입력마다 출력이 꼭 하나인 관계
정의역	입력의 집합
치역	출력의 집합
세로선 검사	어디서든 두 번 만나면 함수가 아님
일대일	출력마다 입력이 하나

자주 하는 실수

f(x) = 3x − 2에서 f(0)을 f × 0 = 0으로 읽기 f(0)은 「0을 넣었을 때의 출력」이라 3 × 0 − 2 = −2입니다. f는 곱할 수 있는 수가 아니라 함수의 이름입니다.
{(1, 5), (2, 5), (3, 7)}은 5가 두 번 나오니 함수가 아니라고 하기 함수가 맞습니다. 막는 것은 입력 하나에 출력이 둘인 경우뿐입니다. 입력 1과 2가 둘 다 5로 가는 것은 같은 사이다를 내는 자판기 버튼 두 개와 같습니다.
f(x) = x²에서 f(2 + 1) = f(2) + f(1)로 쓰기 입력부터 계산해야 합니다. f(3) = 9인데 f(2) + f(1) = 4 + 1 = 5입니다.
가로선이 두 번 만나니 y = x² − 3은 함수가 아니라고 하기 가로선 검사는 함수인지가 아니라 일대일인지를 봅니다. 세로선은 y = x² − 3과 늘 한 번만 만나므로 함수가 맞고, 일대일함수가 아닐 뿐입니다.

선생님 메모중학교 교육과정 고려 사항은 함수를 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계」로 도입하라고 적고 있습니다. 식부터 보여 주면 「함수는 식」이라고 기억해서, 넣을 식이 없는 홀수·짝수 예 앞에서 손이 멈춥니다. 화살표 그림과 순서쌍으로 「이 입력의 출력은 몇 개인가」를 여러 번 세게 한 다음 f(x) 기호를 꺼내세요. 처음 몇 문제는 f(4)를 소리 내어 「f 4」라고 읽게 하면 곱셈으로 읽는 버릇을 막을 수 있습니다. 세로선 검사와 가로선 검사는 칠판에 따로 적고, 옆에 각각 무엇을 판정하는지(함수인가, 일대일인가) 써 둡니다. 일대일함수는 고등학교 공통수학2 용어이니 중학생에게는 마지막 단원 직전에 다시 짚어도 됩니다.

핵심 정리

함수는 입력마다 출력을 꼭 하나 줍니다.
f(x)는 x에서의 출력이고 f 곱하기 x가 아닙니다.
세로선 검사에서 두 번 만나면 함수가 아닙니다.
가로선 검사에서 많아야 한 번 만나면 일대일입니다.

이 과정의 출처 (8)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

확인한 날: 2026-10-18