Was ist eine Funktion?

Ordnet man jeder Zahl von 1 bis 5 ihr Doppeltes zu, entstehen fünf Paare von (1, 2) bis (5, 10). Weil jeder Eingabewert genau einen Ausgabewert erhält, ist diese Zuordnung eine Funktion.

Ein Getränkeautomat mit einem Getränk pro Taste

Stell dir einen Getränkeautomaten neben einer Schulmensa vor. Diesen hier haben wir erfunden. Taste 1 liefert eine Dose Cider, Taste 2 Orangensaft. Auch Taste 3 liefert Cider. Das stört niemanden: Zwei Tasten dürfen dasselbe Getränk ausgeben. Nun liefert Taste 1 montags Cider und dienstags Wasser, obwohl sich sonst nichts geändert hat. Man könnte nicht mehr eindeutig sagen, was Taste 1 bewirkt. Genau hier zieht der Funktionsbegriff die Grenze: Jede Eingabe, hier eine Taste, muss genau eine Ausgabe liefern, hier ein Getränk.

Geordnete Paare: erst die Eingabe, dann die Ausgabe

Viele Größen hängen von anderen ab. Das Gewicht eines Kindes verändert sich mit dem Alter, die Flughöhe eines Flugzeugs mit der zurückgelegten Strecke. OpenStax beginnt mit dem Begriff Relation: einer Menge geordneter Paare. In (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) und (5, 10) sind die ersten Zahlen die Eingaben und die zweiten die Ausgaben. Die Eingabemenge {1, 2, 3, 4, 5} ist der Definitionsbereich, die Ausgabemenge {2, 4, 6, 8, 10} der Wertebereich. Die Eingabe heißt auch unabhängige Variable, meist x, die Ausgabe abhängige Variable, meist y.

Eine Funktion ist eine Relation, die jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuordnet. Die Verdopplung erfüllt das: 3 führt zu 6 und zu keinem anderen Wert. Ordne nun den Wörtern ungerade und gerade die Zahlen von 1 bis 5 zu: (ungerade, 1), (gerade, 2), (ungerade, 3), (gerade, 4), (ungerade, 5). Hier führt die Eingabe ungerade zu drei verschiedenen Ausgaben, 1, 3 und 5. Diese Relation ist also keine Funktion. Beachte, was die Regel erlaubt: Zwei Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben. Zwei Getränke auf einer Preisliste dürfen gleich viel kosten; der Preis bleibt eine Funktion des Artikels.

f(4) bedeutet: Setze für x die Zahl 4 ein

Wir benennen Funktionen mit Buchstaben. f(x), gesprochen „f von x“, bezeichnet den Ausgabewert von f zur Eingabe x. Es bedeutet nicht f mal x. Ist f(x) = 3x − 2, heißt f(4): Ersetze x durch 4 und rechne 3 × 4 − 2 = 10. Das Paar (4, 10) liegt auf dem Graphen von f. Es geht auch umgekehrt: Welche Eingabe ergibt f(x) = 13? Löse 3x − 2 = 13, also x = 5. Stell dir die Funktion als Maschine vor, auf der eine Vorschrift steht. Eine Zahl kommt hinein, die Vorschrift wird angewandt und eine Zahl kommt heraus.

Eine senkrechte Gerade durch einen Kreis schneidet ihn zweimal

Im Graphen entspricht eine Eingabe einer Stelle auf der x-Achse. Die Ausgaben sind die Höhen des Graphen darüber oder darunter. Ein schneller Test besteht deshalb darin, eine senkrechte Gerade über das Bild zu schieben. Schneidet irgendeine solche Gerade den Graphen mehr als einmal, hat dieses x mehrere Ausgaben: Der Graph gehört nicht zu einer Funktion. Eine Parabel besteht den Test, ein Kreis nicht, denn eine senkrechte Gerade durch seine Mitte trifft ihn oben und unten. Auch x = y² − 2, eine seitlich liegende Parabel, besteht den Test nicht.

Ein zweiter Test mit einer waagerechten Geraden beantwortet eine andere Frage. Schneidet jede waagerechte Gerade den Funktionsgraphen höchstens einmal, gehört jede Ausgabe zu nur einer Eingabe. Die Funktion heißt dann eineindeutig, auch injektiv. Die Gerade y = 2x − 1 ist eineindeutig, y = x² − 3 nicht, denn 1 und −1 ergeben beide −2. Eineindeutige Funktionen werden in der letzten Einheit wichtig: Genau sie lassen sich umkehren. Wähle im Labor eine Kurve, verschiebe die senkrechte Gerade und schalte den Waagerechten-Test ein.