関数とは

1から5の各数とその2倍を組にすると、(1, 2)から(5, 10)まで五つの組ができます。どの入力にも出力がただ一つ対応するので、この対応は関数です。

各ボタンから飲み物が一つ出る自動販売機

学校の食堂のそばにある、架空の自動販売機を考えます。ボタン1を押すとサイダー、ボタン2ではオレンジジュースが出ます。ボタン3もサイダーですが、問題ありません。異なるボタンから同じ飲み物が出てもよいのです。ところが、ほかの条件は同じなのに、ボタン1から月曜日はサイダー、火曜日は水が出たらどうでしょう。ボタン1の働きを決められません。関数では、各入力、ここではボタンに対して、出力である飲み物がただ一つに決まります。

順序対：入力が先、出力が後

多くの量は別の量に依存します。子どもの体重は年齢で変わり、飛行機の高度は飛んだ距離で変わります。OpenStaxは、順序対の集合である「関係」から説明を始めます。(1, 2)、(2, 4)、(3, 6)、(4, 8)、(5, 10)では、最初の数が入力、次の数が出力です。入力の集合{1, 2, 3, 4, 5}を定義域、出力の集合{2, 4, 6, 8, 10}を値域といいます。入力は独立変数とも呼び、通常xで表します。出力は従属変数で、通常yで表します。

関数とは、各入力に出力がただ一つ対応する関係です。2倍にする関係なら、3の行き先は6だけなので関数です。今度は奇数・偶数という言葉と1から5の数を組にします。(奇数, 1)、(偶数, 2)、(奇数, 3)、(偶数, 4)、(奇数, 5)です。入力「奇数」に1、3、5という三つの出力があるため、これは関数ではありません。一方、異なる入力が同じ出力を持つことは禁止されていません。料金表で二つの飲み物が同じ価格でも、価格は商品の関数です。

関数：左側の各入力から出る矢印はただ一つです。

f(4)の意味：xに4を代入する

関数には文字で名前を付け、入力xでの出力をf(x)と書き、「エフ・エックス」と読みます。fとxの積ではありません。f(x) = 3x − 2なら、f(4)はxを4に置き換えて計算した値、3 × 4 − 2 = 10です。点(4, 10)はfのグラフ上にあります。逆に、f(x) = 13となる入力を求めるには、3x − 2 = 13を解いてx = 5とします。関数を、側面に規則が書かれた機械だと思いましょう。数を入れると規則が働き、数が一つ出てきます。

入力4がfに入り、出力f(4) = 10が出てきます。

円を通る垂直線は二か所で交わる

グラフでは、入力はx軸上の位置、出力はその位置でのグラフの高さです。そこで垂直線を左右に動かすと簡単に判定できます。どこかで垂直線がグラフと二回以上交われば、そのxには複数の出力があり、関数ではありません。放物線は合格ですが、円は中央を通る垂直線が上下で交わるため不合格です。横向きの放物線x = y² − 2も不合格です。

水平線を使う判定は、別の問いに答えます。どの水平線も関数のグラフと高々一回しか交わらなければ、各出力に対応する入力もただ一つで、その関数を一対一といいます。y = 2x − 1は一対一ですが、y = x² − 3は1と−1がともに−2になるため違います。一対一の関数は逆向きにたどれるため、最後の単元で重要になります。実験で曲線を選び、垂直線を動かし、水平線による判定も有効にしましょう。

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円x² + y² = 16と垂直線x = 1は二か所で交わるので、xの関数ではありません。放物線や三次関数に切り替えると、二回交わることはありません。

背景「関数」という言葉は、徐々に数学に定着しました。MacTutorによると、ライプニッツは1673年8月、図形の中で「何らかの働きをする」線について、日常的な意味でこの言葉を使っています。ヨハン・ベルヌーイは1694年9月2日の手紙で、変量と定量からできる量として関数を説明しました。オイラーは1748年の『Introductio in analysin infinitorum』で関数を中心概念に据え、1755年には、ある量の変化に伴って別の量が変化するなら後者は前者の関数である、という広い定義を示しました。1837年、ディリクレは、有理数には0、無理数には1を対応させるような、式のない規則も認めました。教科書の「xの値にyの値が対応し、y = f(x)と書く」という説明は、グルサが1923年に示したものに近い表現です。

{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}は関数ですか。
- はい
- いいえ
{(奇数, 1), (偶数, 2), (奇数, 3)}は関数ですか。
- いいえ
- はい
f(x) = 3x − 2のとき、f(4)はいくつですか。
f(x) = x² + 1のとき、f(−3)はいくつですか。
垂直線による判定で不合格になるグラフはどれですか。
- x² + y² = 16
- y = x² − 3
- y = 2x − 1
- y = |x| − 2
x = y²のとき、yはxの関数ですか。
- いいえ
- はい
f(x) = 2x + 5のとき、f(x) = 11となるxはいくつですか。
f(x) = x²のとき、f(2) + f(3)はいくつですか。
一対一の関数はどれですか。
- y = 2x − 1
- y = x² − 3
- y = |x| − 2
- y = 5
オイラーが1748年に関数の概念を中心に据えた本はどれですか。
- Introductio in analysin infinitorum
- La Géométrie
- Ars Magna
- Liber embadorum

関数	各入力に出力がただ一つ対応する関係
定義域	入力の集合
値域	出力の集合
垂直線による判定	どこかで二回交われば関数ではない
一対一	各出力に対応する入力が一つだけ

よくある間違い

f(x) = 3x − 2で、f(0)をf × 0 = 0と読む。 f(0)は0を入れたときの出力です。3 × 0 − 2 = −2となります。fを掛けているのではありません。
{(1, 5), (2, 5), (3, 7)}は5が二度出るので関数ではないと判断する。 これは関数です。禁止されるのは、一つの入力に二つの出力があることだけです。入力1と2がともに5に対応しても構いません。同じサイダーが出る二つの自動販売機のボタンと同じです。
f(x) = x²で、f(2 + 1) = f(2) + f(1)と書く。 まず入力を計算します。f(3) = 9ですが、f(2) + f(1) = 4 + 1 = 5です。
水平線が二回交わるので、y = x² − 3は「関数ではない」とする。 水平線による判定は一対一かどうかを調べます。関数かどうかではありません。y = x² − 3はどの垂直線とも一回交わるので関数です。ただし一対一ではありません。

先生からひとこと式ではなく、矢印図や組の一覧から始めましょう。式で初めて関数に出会った生徒は、代入する式のない奇数・偶数の例でつまずきがちです。「この入力には出力がいくつあるか」を繰り返し尋ね、慣れてからf(x)を導入します。最初の数問では「エフ・4」と声に出してもらいましょう。垂直線と水平線の判定は板書でも分け、それぞれが何を判定するか併記します。

ポイント

関数では、各入力に出力がただ一つ対応します。
f(x)はxでの出力であり、fとxの積ではありません。
垂直線による判定：二回交われば関数ではありません。
水平線による判定：交点が高々一つなら一対一です。

このコースの出典 (8)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

確認日: 2026-10-18