Qu'est-ce qu'une fonction ?

En associant chaque nombre de 1 à 5 à son double, on obtient cinq couples, de (1, 2) à (5, 10). À chaque entrée correspond une seule sortie : cette association est donc une fonction.

Un distributeur où chaque bouton donne une boisson

Imagine un distributeur près de la cantine. Cet exemple est fictif. Le bouton 1 donne une canette de cidre. Le bouton 2 donne du jus d'orange. Le bouton 3 donne aussi du cidre, ce qui ne pose aucun problème : deux boutons peuvent donner la même boisson. Imagine maintenant que le bouton 1 donne du cidre le lundi et de l'eau le mardi, sans autre changement. Impossible de prévoir ce qu'il fait. Une fonction impose précisément cette règle : chaque entrée, ici un bouton, doit correspondre à une seule sortie, ici une boisson.

Couples ordonnés : l'entrée d'abord, la sortie ensuite

Beaucoup de grandeurs dépendent d'autres grandeurs. Le poids d'un enfant varie avec son âge ; l'altitude d'un avion varie avec la distance parcourue. OpenStax part de la notion de relation, un simple ensemble de couples ordonnés. Dans (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) et (5, 10), les premiers nombres sont les entrées et les seconds les sorties. L'ensemble des entrées, {1, 2, 3, 4, 5}, est l'ensemble de définition ; celui des sorties, {2, 4, 6, 8, 10}, est l'ensemble image. L'entrée est aussi appelée variable indépendante, généralement notée x, et la sortie variable dépendante, généralement notée y.

Une fonction est une relation qui associe à chaque entrée une seule sortie. La relation du double convient : 3 donne 6 et rien d'autre. Associons maintenant les mots impair et pair aux nombres de 1 à 5 : (impair, 1), (pair, 2), (impair, 3), (pair, 4), (impair, 5). L'entrée impair donne trois sorties différentes, 1, 3 et 5 : cette relation n'est donc pas une fonction. Attention à ce que la règle autorise : deux entrées peuvent avoir la même sortie. Sur une carte de boissons, deux articles peuvent avoir le même prix sans que le prix cesse d'être une fonction de l'article.

f(4) signifie : remplacer x par 4

On nomme les fonctions par des lettres et on écrit f(x), qui se lit « f de x », pour désigner la sortie de f à l'entrée x. Ce n'est pas f multiplié par x. Si f(x) = 3x − 2, alors f(4) signifie : remplacer x par 4 et calculer 3 × 4 − 2 = 10. Le point (4, 10) appartient à la courbe de f. On peut aussi chercher dans l'autre sens : pour trouver l'entrée qui donne f(x) = 13, on résout 3x − 2 = 13, d'où x = 5. Imagine une machine portant une règle : un nombre entre, la règle s'applique et un seul nombre sort.

Une droite verticale coupe un cercle en deux points

Sur un graphique, une entrée correspond à une position sur l'axe des abscisses et ses sorties aux hauteurs de la courbe à cette abscisse. Pour tester rapidement la courbe, déplace une droite verticale sur le dessin. Si elle rencontre la courbe plus d'une fois, cette valeur de x possède plusieurs sorties et la courbe ne représente pas une fonction. Une parabole réussit le test ; un cercle échoue, car la verticale passant par son centre le coupe en haut et en bas. La courbe x = y² − 2, une parabole couchée, échoue aussi.

Un second test, avec une droite horizontale, répond à une autre question. Si toute droite horizontale coupe la courbe d'une fonction au plus une fois, chaque sortie provient d'une seule entrée : la fonction est dite injective. La droite y = 2x − 1 est injective ; y = x² − 3 ne l'est pas, car 1 et −1 donnent tous deux −2. Les fonctions injectives serviront dans la dernière leçon : ce sont celles dont on peut inverser le fonctionnement. Dans le laboratoire, choisis une courbe, déplace la verticale et active le test de la droite horizontale.