Lire une courbe

La courbe d'un récupérateur d'eau passe de 20 à 60 litres en deux heures : le débit moyen entrant est donc de 20 litres par heure.

Quand le récupérateur contenait-il 40 litres ?

Essaie de répondre avant de poursuivre. Un récupérateur d'eau de pluie, imaginé pour cette leçon, se remplit, sert à arroser le jardin, puis se remplit à nouveau. Le graphique ci-dessous donne les litres en fonction des heures. Quand contenait-il exactement 40 litres ? Une réponse saute aux yeux. Il y en a une seconde. Trouve les deux, puis vérifie-les dans la section consacrée à la droite de niveau 40.

Le récupérateur, heure par heure

Beaucoup de fonctions se présentent sous forme de courbes plutôt que de formules : température au cours d'une journée, prix du carburant sur une année, niveau d'eau dans une cuve. Prenons un exemple fictif. À midi, l'heure 0, un récupérateur contient 20 litres. La pluie le remplit jusqu'à 60 litres à l'heure 2. Elle cesse ensuite et le niveau reste à 60 jusqu'à l'heure 4. Quelqu'un arrose alors le jardin, et le réservoir est vide à l'heure 7. Une seconde averse le remplit jusqu'à 30 litres à l'heure 9 ; ce niveau reste inchangé jusqu'à l'heure 10. La courbe de W(t), qui donne les litres en fonction des heures, est une suite de segments.

La droite de niveau 40 coupe la courbe deux fois

Pour trouver W(1), pars de 1 sur l'axe horizontal, monte jusqu'à la courbe, puis rejoins l'axe vertical : 40 litres. À mi-chemin entre les heures 0 et 2, le niveau est à mi-chemin entre 20 et 60. Pour répondre à la question inverse, quand y avait-il 40 litres, trace l'horizontale de niveau 40. Elle coupe la courbe en deux points : t = 1 pendant le remplissage et t = 5 pendant la vidange. W(t) = 40 a donc deux solutions. L'horizontale de niveau 70 ne rencontre rien : W(t) = 70 n'a aucune solution, car le réservoir n'a jamais contenu autant d'eau.

Les intervalles de variation s'écrivent en heures

Une fonction est croissante sur un intervalle si sa courbe monte quand on avance vers la droite, décroissante si elle descend, et constante si elle reste horizontale. Le niveau augmente sur (0, 2) et (7, 9), reste constant sur (2, 4) et (9, 10), et diminue sur (4, 7). Les intervalles utilisent les abscisses, ici les temps, pas les hauteurs. La valeur maximale est 60, maintenue de 2 à 4 ; la minimale est 0, à t = 7. Quand une courbe passe d'une hausse à une baisse, elle présente un maximum local ; dans le sens inverse, un minimum local.

20 litres par heure à l'entrée, 20 litres par heure à la sortie

À quelle vitesse l'eau est-elle entrée ? Le taux de variation moyen d'une fonction entre a et b est la variation de la sortie divisée par celle de l'entrée : (f(b) − f(a)) / (b − a). De l'heure 0 à l'heure 2, il vaut (60 − 20)/(2 − 0) = 20 litres par heure. De l'heure 4 à l'heure 7, il vaut (0 − 60)/(7 − 4) = −20 litres par heure ; le signe négatif indique que l'eau sortait. Sur la courbe, c'est la pente de la droite reliant les deux points. Une droite a donc le même taux de variation partout, tandis qu'une courbe peut avoir des taux moyens différents selon l'intervalle.

Dans le laboratoire, fais glisser sur la courbe pour lire W(t) à tout instant, puis active Résoudre f(x) = c pour déplacer une horizontale de haut en bas. Les marques violettes indiquent toutes les solutions de W(t) = c ; pour c = 60 ou c = 30, tu obtiens un intervalle entier de solutions plutôt que des points isolés, car la courbe est horizontale à ces niveaux.