Leer una gráfica

La gráfica de un barril de agua de lluvia sube de 20 a 60 litros en dos horas, así que entró agua a un promedio de 20 litros por hora.

¿Cuándo contenía el depósito 40 litros?

Prueba a responder antes de seguir leyendo. Un depósito de lluvia para el jardín, inventado para esta unidad, se llena con la lluvia, se vacía para regar y vuelve a llenarse. La gráfica siguiente registra litros frente a horas. ¿Cuándo contenía exactamente 40 litros? Una respuesta salta a la vista. Hay otra. Encuentra ambas y luego compruébalas en la sección sobre la recta de altura 40.

El depósito de lluvia, hora a hora

Muchas funciones nos llegan en forma de gráficas, no de fórmulas: la temperatura a lo largo de un día, el precio del combustible durante un año, el nivel de agua en un tanque. Tomemos un ejemplo inventado para esta unidad. Un depósito de lluvia para el jardín contiene 20 litros al mediodía (hora 0). La lluvia lo llena hasta 60 litros en la hora 2. Deja de llover y el nivel se mantiene en 60 hasta la hora 4. Después, alguien riega el jardín y el depósito se vacía en la hora 7. Un segundo aguacero lo devuelve a 30 litros en la hora 9, y ahí se mantiene hasta la hora 10. La gráfica de esta función W(t), litros frente a horas, es una cadena de segmentos rectos.

La recta de altura 40 corta la gráfica dos veces

Para hallar W(1), ve al 1 del eje horizontal, sube hasta la gráfica y desplázate al eje vertical: 40 litros. A mitad de camino entre la hora 0 y la hora 2, el nivel está a mitad de camino entre 20 y 60. Para responder a la pregunta inversa, cuándo había 40 litros, dibuja la recta horizontal de altura 40 y observa dónde corta la gráfica. Lo hace dos veces: en t = 1 mientras se llena y en t = 5 mientras se vacía. Por tanto, W(t) = 40 tiene dos soluciones. La recta de altura 70 no corta la gráfica, así que la ecuación W(t) = 70 no tiene solución; el depósito nunca contuvo tanta agua.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se escriben en horas

Una función es creciente en un intervalo si su gráfica sube al avanzar hacia la derecha, decreciente si baja y constante si se mantiene horizontal. El depósito crece en (0, 2) y (7, 9), se mantiene constante en (2, 4) y (9, 10), y decrece en (4, 7). Los intervalos se escriben con valores de x, los tiempos, no con las alturas. El valor más alto es 60, y se mantiene en todo el tramo de 2 a 4; el más bajo es 0, en t = 7. Donde una gráfica pasa de subir a bajar hay un máximo local, y donde pasa de bajar a subir hay un mínimo local.

Entran 20 litros por hora; salen 20 litros por hora

¿A qué velocidad entraba el agua? La tasa de variación media de una función entre a y b es el cambio en la salida dividido entre el cambio en la entrada: (f(b) − f(a)) / (b − a). De la hora 0 a la hora 2 es (60 − 20)/(2 − 0) = 20 litros por hora. De la hora 4 a la hora 7 es (0 − 60)/(7 − 4) = −20 litros por hora; el signo negativo indica que el agua salía. En una gráfica, esta es la pendiente de la recta que une los dos puntos, de modo que la tasa de variación de una recta es igual en todas partes, mientras que una curva tiene tasas medias distintas en intervalos distintos.

En el laboratorio, arrastra sobre la gráfica para leer W(t) en cualquier momento y activa Resolver f(x) = c para subir y bajar una recta horizontal. Las marcas moradas son todas las soluciones de W(t) = c; cuando c = 60 o c = 30 obtienes un tramo completo de soluciones en vez de puntos aislados, porque allí la gráfica es horizontal.