그래프 읽기
빗물 통 그래프가 두 시간 동안 20리터에서 60리터로 올라갔다면, 물은 평균 시간당 20리터씩 들어온 것입니다.
빗물 통에 물이 40리터였던 때는 언제일까요?
읽기 전에 문제를 하나 풀어 보겠습니다. 이 단원을 위해 지어낸 정원 빗물 통이 있습니다. 비가 와서 찼다가 정원에 물을 주느라 비었고, 다시 비가 와서 찹니다. 아래 그래프가 시간에 따른 물의 양을 리터로 보여 줍니다. 물이 딱 40리터였던 때는 언제일까요? 하나는 금방 보입니다. 하나가 더 있습니다. 둘 다 찾은 다음 「40리터 가로선은 그래프와 두 번 만납니다」 부분에서 맞춰 보세요.
시간마다 바뀌는 빗물 통의 물
우리가 만나는 함수는 식보다 그래프일 때가 많습니다. 하루 동안의 기온, 한 해 동안의 기름값, 물탱크의 수위가 그렇습니다. 빗물 통 이야기를 숫자로 적어 보겠습니다. 정오(0시간)에 통에는 물이 20리터 있습니다. 비가 와서 2시간째에 60리터가 되고, 비가 그친 뒤 4시간째까지 60리터 그대로입니다. 그다음 누군가 정원에 물을 주어 7시간째에 통이 텅 빕니다. 두 번째 소나기로 9시간째에 다시 30리터가 되고, 10시간째까지 그대로 있습니다. 시간 t에 따른 물의 양 W(t)를 그리면 직선 조각 몇 개가 이어진 그래프가 나옵니다. 조각마다 기울기가 일정하니, 그 조각 안에서는 물이 일정한 빠르기로 들고 났다는 뜻입니다. 중학교 성취기준 [9수02-06]의 「주어진 그래프를 해석」하는 연습을 이 그래프로 해 봅니다.
40리터 가로선은 그래프와 두 번 만납니다
W(1)을 읽으려면 가로축의 1에서 그래프까지 올라간 다음, 옆으로 세로축까지 갑니다. 40리터입니다. 1시간은 0시간과 2시간의 한가운데이고, 그사이 물이 고르게 늘었으니 수위도 20과 60의 한가운데에 있습니다. 거꾸로 「물이 40리터였던 때」를 찾으려면 높이 40에 가로선을 긋습니다. 이 선은 그래프와 두 번 만납니다. 한 번은 물이 차던 t = 1이고, 또 한 번은 물이 빠지던 t = 5입니다. 그래서 방정식 W(t) = 40의 해는 두 개입니다. 높이 70에 그은 선은 그래프 어디에도 닿지 않으니 W(t) = 70은 해가 없습니다. 통에 70리터가 찬 적이 없었기 때문입니다. 아래 실험실에서 「f(x) = c 풀기」를 켜고 c를 40에 맞추면 보라색 점 두 개가 t = 1과 t = 5에 찍힙니다.
증가·감소 구간은 높이가 아니라 시간으로 적습니다
오른쪽으로 갈수록 그래프가 올라가는 구간에서 함수는 증가하고, 내려가는 구간에서 감소합니다. 높이가 그대로인 구간에서는 일정하다고 합니다. 빗물 통 함수는 (0, 2)와 (7, 9)에서 증가하고, (2, 4)와 (9, 10)에서 일정하며, (4, 7)에서 감소합니다. 구간은 높이가 아니라 x값, 여기서는 시각으로 씁니다. 이 과정에서는 증가·감소 구간을 끝점을 뺀 소괄호로 적습니다. 가장 큰 값 60은 2시간부터 4시간까지 이어지고, 가장 작은 값 0은 t = 7에서 나옵니다. 그래프가 오르다가 내려가기 시작하는 곳의 값을 극댓값, 내려가다가 오르기 시작하는 곳의 값을 극솟값이라고 합니다. 증가와 감소, 극댓값과 극솟값은 고등학교 미적분Ⅰ [12미적Ⅰ-02-07]에서 미분과 함께 다시 나옵니다.
시간당 20리터씩 들어오고, 시간당 20리터씩 빠집니다
비가 올 때 물은 얼마나 빨리 들어왔을까요? a부터 b까지의 평균변화율은 출력의 변화를 입력의 변화로 나눈 값 (f(b) − f(a)) / (b − a)입니다. 0시간부터 2시간까지는 (60 − 20)/(2 − 0) = 시간당 20리터입니다. 4시간부터 7시간까지는 (0 − 60)/(7 − 4) = 시간당 −20리터이고, 음수 부호는 그동안 물이 빠져나갔다는 뜻입니다. 그래프에서 평균변화율은 두 점을 잇는 직선의 기울기와 같습니다. 직선 그래프는 어느 구간을 골라도 평균변화율이 같고, 휘어진 그래프는 구간마다 다릅니다. 평평한 구간도 계산해 보면 2시간부터 4시간까지는 (60 − 60)/(4 − 2) = 0입니다. 높이가 그대로이니 변화율도 0입니다. 중학교 일차함수에서 배운 기울기와 같은 계산입니다.
아래 실험실에서 그래프 위를 옆으로 끌면 아무 시각의 W(t)나 읽을 수 있습니다. 「f(x) = c 풀기」를 켜면 높이 c에 가로선이 생기고, 그 선을 위아래로 옮길 수 있습니다. 보라색 표시가 W(t) = c의 해 전부입니다. c를 60이나 30에 맞추면 그 높이에서 그래프가 평평해서, 해가 점이 아니라 구간 하나로 나옵니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
- 빗물 통 그래프에서 W(1)은 몇 리터일까요?
- W(5)는 몇 리터일까요?
- 통에 물이 가장 많았을 때는 몇 리터일까요?
- W가 가장 높은 수준에서 일정한 구간은 어디일까요?
- (2, 4)
- (0, 2)
- (4, 7)
- (9, 10)
- W가 감소하는 구간은 어디일까요?
- (4, 7)
- (2, 4)
- (7, 9)
- (0, 2)
- W(t) = 40의 해는 몇 개일까요?
- t = 0부터 t = 2까지 평균변화율은 시간당 몇 리터일까요?
- t = 4부터 t = 7까지 평균변화율은 얼마일까요?
- 통이 빈 때는 t가 얼마일 때일까요?
- W(8)은 몇 리터일까요?
- W가 (20, 60)에서 증가한다고 쓰기 20과 60은 세로축에서 읽은 물의 양입니다. 구간은 가로축의 시각으로 읽어야 하니, 물이 20리터에서 60리터로 늘어난 때는 (0, 2)입니다.
- t = 2부터 t = 7까지의 평균변화율을 (7 − 2)/(0 − 60) = −1/12로 계산하기 평균변화율은 출력의 변화를 입력의 변화로 나눈 값이라 물의 양의 변화가 분자로 갑니다. (0 − 60)/(7 − 2) = 시간당 −12리터이고, 음수이니 그동안 물이 줄었습니다.
- W(t) = 30의 해를 t = 9 하나만 적기 높이 30에 가로선을 끝까지 그어 보세요. 물이 차던 t = 0.5, 빠지던 t = 5.5에서 만나고, 9부터 10까지는 그래프와 겹치므로 그 사이의 t도 모두 해입니다.
- f(a)는 x축의 a에서 위로 간 뒤 가로로 가서 높이를 읽습니다.
- f(x) = c는 높이 c에 가로선을 긋고 그래프와 만나는 x를 모두 읽습니다.
- 증가, 감소, 일정 구간은 x값으로 씁니다.
- 평균변화율은 (f(b) − f(a)) / (b − a), 두 점 사이의 기울기입니다.
이 과정의 출처 (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
확인한 날: 2026-10-18