정의역과 치역
f(x) = √(x + 2)는 x = −3에서 실수 출력이 없습니다. −3 + 2 = −1이고 음수에는 실수 제곱근이 없기 때문입니다. 정의역은 −2부터 시작합니다.
√(x + 2)에 −3을 넣으면 무엇이 나올까요
식이 있으면 아무 수나 넣을 수 있다고 생각하기 쉽습니다. 하나 넣어 보겠습니다. f(x) = √(x + 2)에 x = −3을 넣으면 근호 안이 −3 + 2 = −1이 됩니다. 제곱해서 −1이 되는 실수는 없으니, 실수 범위에서는 나올 값이 없습니다. 식이 스스로 어떤 입력은 받지 않는다는 뜻입니다. 받아 주는 입력을 모은 집합에는 따로 이름이 있습니다.
정의역은 들어가는 쪽, 치역은 나오는 쪽
정의역은 함수에 넣을 수 있는 입력을 모두 모은 집합이고, 치역은 실제로 나오는 출력을 모두 모은 집합입니다. 순서쌍 목록으로 주어진 함수라면 목록에서 그대로 읽으면 됩니다. OpenStax 교재의 함수 {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}은 정의역이 {2, 3, 4, 5, 6}, 치역이 {10, 20, 30, 40}입니다. 10은 출력으로 두 번 나오지만 집합에는 한 번만 적습니다. 식으로 주어진 함수는 따로 말이 없으면 셈의 규칙을 어기지 않는 실수 전체를 정의역으로 봅니다. 고등학교 공통수학2에서는 함수를 f: X → Y처럼 두 집합 사이의 대응으로 쓰고, X를 정의역, Y를 공역이라고 부릅니다. 치역은 공역 가운데 실제로 나온 값만 모은 집합이라 공역보다 작을 수 있습니다.
정의역을 정하는 규칙 두 가지
실수 범위에서 할 수 없는 셈이 두 가지 있습니다. 어떤 수도 0으로 나눌 수 없고, 음수의 제곱근(넓게는 짝수 제곱근)도 구할 수 없습니다. OpenStax 교재는 이를 짧은 점검 순서로 정리합니다. 분모도 근호도 없으면 정의역은 아마 실수 전체입니다. 분모가 있으면 분모를 0으로 만드는 x를 뺍니다. 짝수 제곱근이 있으면 근호 안을 0 이상으로 만드는 x만 남깁니다. 실제 상황을 나타내는 함수라면 상황이 조건을 하나 더 붙입니다. 영화표 장수가 음수일 수는 없으니까요.
예를 몇 개 들어 보겠습니다. f(x) = 1/(x − 1)은 x = 1에서 분모가 0이 되므로 정의역은 1을 뺀 실수 전체입니다. f(x) = √(x + 2)는 x + 2 ≥ 0이어야 하니 x ≥ −2이고, f(x) = √(6 − x)는 6 − x ≥ 0에서 x ≤ 6입니다. x = 6을 넣으면 √0 = 0이 나오니 6도 정의역에 들어갑니다. f(x) = x² − 4는 피할 것이 없어 정의역이 실수 전체입니다. 그렇다고 치역까지 실수 전체는 아닙니다. x²는 음수가 될 수 없으므로 x² − 4는 −4보다 작아지지 않습니다. 정의역과 치역을 따로 따져야 하는 까닭이 여기 있습니다.
대괄호는 끝점을 넣고, 소괄호는 뺍니다
정의역과 치역은 수직선의 한 구간 전체일 때가 많아서 구간 기호로 짧게 씁니다. 작은 끝점, 쉼표, 큰 끝점 순서로 적습니다. 대괄호 [ ]는 끝점을 넣는다는 뜻이고 소괄호 ( )는 끝점을 뺀다는 뜻입니다. 무한대 ∞는 닿을 수 있는 수가 아니라서 늘 소괄호를 씁니다. OpenStax 교재의 예로, 쓸 돈이 100달러 있다면 쓸 수 있는 금액은 0보다 크고 100 이하이므로 (0, 100]입니다. 용돈 1만 원으로 군것질을 하는 경우도(지어낸 예) 같은 모양이라 (0, 10000]으로 씁니다. 같은 방식으로 √(x + 2)의 정의역은 [−2, ∞), 1/(x − 1)의 정의역은 (−∞, 1) ∪ (1, ∞)입니다. ∪는 두 조각을 하나로 합친다는 기호입니다. 우리 교육과정에서 [a, b], (a, b) 같은 구간 기호는 고등학교 미적분Ⅰ 용어 목록에 나옵니다.
| 말 | 부등식 | 구간 |
|---|---|---|
| x는 −2 이상 | x ≥ −2 | [−2, ∞) |
| x는 6 이하 | x ≤ 6 | (−∞, 6] |
| x는 0보다 크고 100 이하 | 0 < x ≤ 100 | (0, 100] |
| 1을 뺀 모든 실수 | x ≠ 1 | (−∞, 1) ∪ (1, ∞) |
| 모든 실수 | (−∞, ∞) |
그래프를 두 축에 눌렀을 때 생기는 그림자
그래프에서 정의역은 곡선을 x축 쪽으로 납작하게 눌렀을 때 생기는 그림자이고, 치역은 y축 쪽으로 눌렀을 때 생기는 그림자입니다. 아래 실험실에서는 x축 위의 초록 막대가 정의역, y축 위의 주황 막대가 치역입니다. 막대 끝의 꽉 찬 점은 그 끝점이 들어간다는 뜻이고 빈 점은 빠진다는 뜻입니다. 1/(x − 1)의 그래프에서 x = 1 자리에 빈 동그라미가 보이는 것도 그래서입니다. x 슬라이더를 정의역 바깥으로 옮기면, 그 입력이 어느 규칙에 걸리는지 아래 칸에 나옵니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
- f(x) = √(x + 2)의 정의역은 무엇일까요?
- [−2, ∞)
- (−2, ∞)
- [2, ∞)
- (−∞, ∞)
- f(x) = 1/(x − 1)의 정의역은 무엇일까요?
- (−∞, 1) ∪ (1, ∞)
- (1, ∞)
- [1, ∞)
- (−∞, ∞)
- f(x) = x² − 4의 치역은 무엇일까요?
- [−4, ∞)
- (−∞, ∞)
- [4, ∞)
- (−4, ∞)
- f(x) = √(x − 5)의 정의역에서 가장 작은 수는 얼마일까요?
- f(x) = 1/(x + 3)의 정의역에서 빼야 하는 입력은 얼마일까요?
- 「0보다 크고 100 이하」를 구간으로 어떻게 쓸까요?
- (0, 100]
- [0, 100)
- [0, 100]
- (0, 100)
- {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}의 정의역은 무엇일까요?
- {2, 3, 4, 5, 6}
- {10, 20, 30, 40}
- {2, 10}
- {2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 30, 40}
- 같은 순서쌍들의 치역은 무엇일까요?
- {10, 20, 30, 40}
- {10, 10, 20, 30, 40}
- {2, 3, 4, 5, 6}
- [10, 40]
- f(x) = 3 − |x|의 치역은 무엇일까요?
- (−∞, 3]
- [3, ∞)
- (−∞, 3)
- (−∞, ∞)
- f(x) = x³의 정의역은 무엇일까요?
- (−∞, ∞)
- [0, ∞)
- (0, ∞)
- (−∞, 0]
- {(1, 4), (2, 4), (3, 9)}의 정의역을 {4, 9}로 쓰기 {4, 9}는 뒤의 수를 모은 치역입니다. 정의역은 앞의 수를 모은 {1, 2, 3}입니다. 답을 쓰기 전에 어느 쪽이 들어가는 쪽인지 먼저 소리 내어 말해 보세요.
- f(x) = x² + 1은 정의역이 실수 전체이니 치역도 (−∞, ∞)라고 하기 정의역과 치역은 따로 따져야 합니다. x² ≥ 0이므로 x² + 1 ≥ 1이고, x = 0에서 1이 나옵니다. 치역은 [1, ∞)입니다.
- √(x − 3)의 정의역을 (3, ∞)로 쓰기 x = 3을 넣으면 √0 = 0으로 실수가 나오므로 3도 정의역에 들어갑니다. 답은 [3, ∞)입니다. 근호 안이 0인 것은 괜찮지만, 분모가 0인 것은 안 됩니다.
- 정의역은 넣을 수 있는 입력, 치역은 나올 수 있는 출력입니다.
- 0으로 나누거나 음수의 짝수 제곱근을 구하게 되는 입력은 뺍니다.
- 구간 표기에서 [ ]는 끝점 포함, ( )는 제외이고, ∞에는 언제나 ( )를 씁니다.
- 그래프에서 정의역과 치역은 두 축에 드리운 그림자입니다.
이 과정의 출처 (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
확인한 날: 2026-10-18