Definitionsbereich und Wertebereich

f(x) = √(x + 2) hat bei x = −3 keinen reellen Ausgabewert, denn −3 + 2 = −1 und eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel. Der Definitionsbereich beginnt bei −2.

Was kommt heraus, wenn −3 in √(x + 2) eingeht?

Man könnte meinen, eine Formel nehme jede Zahl an. Probiere es aus: Setze x = −3 in f(x) = √(x + 2) ein. Unter der Wurzel steht −3 + 2 = −1, und keine reelle Zahl ergibt quadriert −1. Es kommt nichts heraus. Die Formel selbst schließt also manche Eingaben aus. Die Menge der zugelassenen Eingaben hat einen eigenen Namen.

Definitionsbereich: was hineingeht. Wertebereich: was herauskommt

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge ihrer zugelassenen Eingaben, der Wertebereich die Menge ihrer möglichen Ausgaben. Bei einer Paarliste liest man beides ab. OpenStax gibt die Funktion {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)} an: Definitionsbereich {2, 3, 4, 5, 6}, Wertebereich {10, 20, 30, 40}. Die Ausgabe 10 kommt zweimal vor, steht im Wertebereich aber nur einmal. Bei einer Formel gehören meist alle reellen Zahlen zum Definitionsbereich, die keine Rechenregel verletzen.

Zwei Regeln bestimmen die meisten Definitionsbereiche

Bei reellen Zahlen musst du auf zwei Regeln achten. Du darfst nicht durch 0 teilen und aus einer negativen Zahl keine Wurzel gerader Ordnung ziehen, etwa eine Quadratwurzel. OpenStax macht daraus einen kurzen Test. Ohne Nenner und Wurzel gerader Ordnung besteht der Definitionsbereich wahrscheinlich aus allen reellen Zahlen. Gibt es einen Nenner, schließe alle x aus, die ihn zu 0 machen. Gibt es eine Wurzel gerader Ordnung, behalte nur die x, für die der Ausdruck unter der Wurzel null oder positiv ist. Sachzusammenhänge bringen weitere Grenzen mit: Eine Anzahl von Eintrittskarten kann nicht negativ sein.

Beispiele machen es greifbar. Bei f(x) = 1/(x − 1) ist der Nenner für x = 1 gleich 0: Alle reellen Zahlen außer 1 sind erlaubt. Für f(x) = √(x + 2) brauchen wir x + 2 ≥ 0, also x ≥ −2. Für f(x) = √(6 − x) brauchen wir 6 − x ≥ 0, also x ≤ 6. Bei f(x) = x² − 4 gibt es nichts auszuschließen; der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen. Der Wertebereich dagegen nicht: x² ist nie negativ, also liegt x² − 4 nie unter −4.

Eckige Klammern schließen den Rand ein, runde schließen ihn aus

Definitionsbereiche und Wertebereiche sind oft ganze Abschnitte der Zahlengeraden. Die Intervallschreibweise fasst sie kurz zusammen. Zuerst steht die kleinere Grenze, dann ein Komma, dann die größere. Eine eckige Klammer [ oder ] bedeutet, dass die Grenze dazugehört, eine runde ( oder ), dass sie ausgeschlossen ist. Unendlich ist keine erreichbare Zahl und erhält deshalb immer eine runde Klammer. OpenStax nennt dieses Beispiel: Wer $100 ausgeben kann, gibt mehr als 0 und höchstens 100 aus, geschrieben (0, 100]. Der Definitionsbereich von √(x + 2) ist [−2, ∞), der von 1/(x − 1) ist (−∞, 1) ∪ (1, ∞). Das Zeichen ∪ verbindet die beiden Teile.

Definitionsbereich und Wertebereich als Schatten auf den Achsen

Am Graphen ist der Definitionsbereich der Schatten der Kurve auf der x-Achse, der Wertebereich ihr Schatten auf der y-Achse. Drücke den Graphen gedanklich auf jede Achse und schau, was abgedeckt wird. Im Labor zeigt der grüne Balken auf der x-Achse den Definitionsbereich, der orange Balken auf der y-Achse den Wertebereich. Ein ausgefüllter Endpunkt gehört zur Menge, ein offener nicht. So ein offener Kreis steht bei x = 1 für 1/(x − 1). Schiebe den x-Regler in einen verbotenen Bereich: Die Anzeige erklärt, welche Regel die Eingabe verletzt.