Domein en bereik

f(x) = √(x + 2) geeft bij x = −3 geen reële uitvoer: −3 + 2 = −1 heeft geen reële vierkantswortel. Het domein begint bij −2.

Wat komt uit √(x + 2) bij invoer −3?

Je denkt misschien dat elke formule elk getal accepteert. Probeer x = −3 bij f(x) = √(x + 2). Onder de wortel komt −3 + 2 = −1, terwijl geen reëel getal gekwadrateerd −1 geeft. Er komt niets uit. De formule sluit dus invoer uit; toegestane invoer vormt een verzameling met een eigen naam.

Domein is wat erin gaat, bereik wat eruit komt

Het domein van een functie is de verzameling invoerwaarden die zij accepteert. Het bereik is de verzameling uitvoerwaarden die zij kan opleveren. Bij een lijst van paren lees je ze af. OpenStax geeft de functie {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}. Het domein is {2, 3, 4, 5, 6} en het bereik {10, 20, 30, 40}. De waarde 10 verschijnt tweemaal als uitvoer, maar staat maar één keer in het bereik. Bij een formule bestaat het domein meestal uit alle reële getallen die geen rekenregel schenden.

Twee regels bepalen de meeste domeinen

Bij reële getallen moet je op twee regels letten. Je kunt niet door 0 delen en geen even wortel, zoals een vierkantswortel, van een negatief getal nemen. OpenStax maakt daarvan een korte controle. Zonder noemer en zonder even wortel is het domein waarschijnlijk alle reële getallen. Is er een noemer, sluit dan elke x uit die de noemer 0 maakt. Is er een even wortel, behoud dan alleen de x-waarden waarvoor de uitdrukking eronder nul of positief is. Echte situaties voegen eigen grenzen toe: een aantal kaartjes kan niet negatief zijn.

Voorbeelden maken dit concreet. Bij f(x) = 1/(x − 1) is de noemer 0 als x = 1. Het domein is dus elk reëel getal behalve 1. Bij f(x) = √(x + 2) moet x + 2 ≥ 0 gelden, dus x ≥ −2. Bij f(x) = √(6 − x) moet 6 − x ≥ 0 gelden, dus x ≤ 6. Bij f(x) = x² − 4 hoef je niets te vermijden: het domein bevat alle reële getallen. Het bereik bevat echter niet alles. Omdat x² nooit negatief is, komt x² − 4 nooit onder −4.

Rechte haken behouden een eindpunt, ronde laten het weg

Domein en bereik zijn vaak hele stukken van de getallenlijn. Met intervalnotatie schrijf je die kort op. Het kleinste eindpunt komt eerst, daarna een komma en het grootste eindpunt. Een vierkante haak [ of ] betekent dat het eindpunt erbij hoort. Een ronde haak ( of ) sluit het uit. Oneindig is geen bereikbaar getal en krijgt dus altijd een ronde haak. OpenStax geeft dit voorbeeld: heb je $100 te besteden, dan kun je meer dan 0 en hoogstens 100 uitgeven, geschreven als (0, 100]. Het domein van √(x + 2) is [−2, ∞). Dat van 1/(x − 1) is (−∞, 1) ∪ (1, ∞), waarbij ∪ de twee delen verenigt.

Domein en bereik als schaduwen op de assen

In een grafiek is het domein de schaduw van de kromme op de x-as. Het bereik is de schaduw op de y-as. Druk de grafiek plat op elke as en kijk welke delen bedekt worden. In het practicum geeft de groene balk op de x-as het domein aan en de oranje balk op de y-as het bereik. Een gevulde eindstip betekent dat het eindpunt bij de verzameling hoort; een open stip betekent van niet. Dat is het open rondje dat je bij x = 1 voor 1/(x − 1) ziet. Schuif x naar een verboden gebied en het paneel vertelt welke regel die invoer schendt.