Leitura de gráficos
O gráfico de um barril de água da chuva sobe de 20 para 60 litros em duas horas, portanto a água entrou à taxa média de 20 litros por hora.
Quando o reservatório tinha 40 litros?
Tente responder antes de continuar. Um reservatório de jardim, fictício nesta unidade, enche com a chuva, é esvaziado para regar o jardim e volta a encher. O gráfico abaixo registra litros em função das horas. Quando havia exatamente 40 litros? Uma resposta salta aos olhos. Há uma segunda. Encontre as duas e confira na seção sobre a reta em 40.
O reservatório, hora a hora
Muitas funções chegam até nós como gráficos, não como fórmulas: a temperatura ao longo do dia, o preço do combustível durante um ano, o nível de água em um tanque. Veja este exemplo fictício. Um reservatório de jardim contém 20 litros ao meio-dia (hora 0). A chuva o enche até 60 litros na hora 2. A chuva para, e o nível permanece em 60 até a hora 4. Depois alguém rega o jardim, e o reservatório fica vazio na hora 7. Uma segunda chuva o leva a 30 litros na hora 9, nível que se mantém até a hora 10. O gráfico dessa função W(t), em litros por horas, é uma sequência de segmentos de reta.
A reta em 40 encontra o gráfico duas vezes
Para encontrar W(1), parta de 1 no eixo horizontal, suba até o gráfico e siga até o eixo vertical: 40 litros. No meio entre as horas 0 e 2, o nível está no meio entre 20 e 60. Para responder à pergunta inversa, quando havia 40 litros, trace a reta horizontal em 40 e veja onde ela encontra o gráfico. Isso ocorre duas vezes: em t = 1 enquanto enche e em t = 5 enquanto esvazia. Assim, W(t) = 40 tem duas soluções. A reta em 70 não encontra o gráfico, então W(t) = 70 não tem solução; nunca houve tanta água.
Os intervalos de crescimento e decrescimento são escritos em horas
Uma função é crescente em um intervalo se o gráfico sobe ao avançarmos para a direita, decrescente se desce e constante se fica na mesma altura. O reservatório é crescente em (0, 2) e (7, 9), constante em (2, 4) e (9, 10) e decrescente em (4, 7). Os intervalos usam os valores de x, os tempos, não as alturas. O maior valor é 60, mantido de 2 a 4; o menor é 0, em t = 7. Onde o gráfico muda de crescente para decrescente há um máximo local, e onde muda de decrescente para crescente há um mínimo local.
Entram 20 litros por hora; saem 20 litros por hora
A que velocidade entrou a água? A taxa média de variação de uma função entre a e b é a variação da saída dividida pela variação da entrada: (f(b) − f(a)) / (b − a). Da hora 0 à hora 2, vale (60 − 20)/(2 − 0) = 20 litros por hora. Da hora 4 à hora 7, vale (0 − 60)/(7 − 4) = −20 litros por hora; o sinal negativo indica que a água estava saindo. No gráfico, essa é a inclinação da reta que une os dois pontos. Por isso, uma reta tem a mesma taxa de variação em todo lugar, enquanto uma curva tem taxas médias diferentes em intervalos diferentes.
No laboratório, arraste pelo gráfico para ler W(t) em qualquer instante e ative Resolver f(x) = c para mover uma reta horizontal para cima e para baixo. As marcas roxas indicam todas as soluções de W(t) = c; em c = 60 ou c = 30, há um intervalo inteiro de soluções, em vez de pontos isolados, pois o gráfico é constante nesses trechos.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
- Pelo gráfico do reservatório, quanto vale W(1), em litros?
- Quanto vale W(5), em litros?
- Qual foi a maior quantidade de água no reservatório, em litros?
- Em qual intervalo W é constante em seu nível máximo?
- (2, 4)
- (0, 2)
- (4, 7)
- (9, 10)
- Em qual intervalo W é decrescente?
- (4, 7)
- (2, 4)
- (7, 9)
- (0, 2)
- Quantas soluções tem W(t) = 40?
- Qual é a taxa média de variação de t = 0 a t = 2, em litros por hora?
- Qual é a taxa média de variação de t = 4 a t = 7?
- Em qual instante t o reservatório estava vazio?
- Quanto vale W(8), em litros?
- Dizer que W é crescente em (20, 60). 20 e 60 são alturas. Os intervalos são tempos lidos no eixo horizontal, portanto a resposta é (0, 2).
- Calcular a taxa de t = 2 a t = 7 como (7 − 2)/(0 − 60) = −1/12. A variação da saída vai no numerador: (0 − 60)/(7 − 2) = −12 litros por hora.
- Responder W(t) = 30 apenas com t = 9. Trace a reta inteira em 30. Ela cruza em t = 0.5 enquanto enche e em t = 5.5 enquanto esvazia, além de coincidir com o gráfico de 9 a 10. Portanto, todo t de 9 a 10 também serve.
- f(a): suba a partir de a no eixo x e siga para o lado para ler a altura.
- f(x) = c: trace a reta horizontal em c e leia cada x em que ela encontra o gráfico.
- Os intervalos de crescimento, decrescimento e constância usam valores de x.
- Taxa média de variação: (f(b) − f(a)) / (b − a), a inclinação entre dois pontos.
Fontes deste curso (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Data de verificação: 2026-10-18