Leggere un grafico
Il grafico di un bidone per l'acqua piovana sale da 20 a 60 litri in due ore: l'acqua è entrata in media a 20 litri all'ora.
Quando conteneva 40 litri?
Prima di continuare, prova a rispondere. Un bidone da giardino, inventato per questa unità, si riempie con la pioggia, viene svuotato per annaffiare e si riempie di nuovo. Il grafico registra i litri in funzione delle ore. Quando conteneva esattamente 40 litri? Una risposta è evidente. Ce n'è una seconda. Trovale entrambe, poi confrontale con la sezione sulla retta a quota 40.
Il bidone, ora per ora
Molte funzioni ci arrivano come grafici, non come formule: la temperatura durante il giorno, il prezzo del carburante durante l'anno, il livello dell'acqua in un serbatoio. Prendi questo esempio inventato. A mezzogiorno (ora 0) un bidone contiene 20 litri. La pioggia lo porta a 60 litri all'ora 2. Poi smette e il livello resta a 60 fino all'ora 4. Qualcuno annaffia il giardino e il bidone si svuota entro l'ora 7. Un secondo acquazzone lo riporta a 30 litri all'ora 9; il livello resta così fino all'ora 10. Il grafico di W(t), litri in funzione delle ore, è una spezzata.
La retta a quota 40 incontra il grafico due volte
Per trovare W(1), parti da 1 sull'asse orizzontale, sali al grafico e vai all'asse verticale: 40 litri. A metà tra l'ora 0 e l'ora 2, il livello è a metà tra 20 e 60. Per la domanda inversa, quando c'erano 40 litri, traccia la retta orizzontale a quota 40 e cerca le intersezioni. Sono due: t = 1 durante il riempimento e t = 5 durante lo svuotamento. W(t) = 40 ha quindi due soluzioni. La retta a quota 70 non incontra il grafico: W(t) = 70 non ha soluzione, perché il bidone non ha mai contenuto tanta acqua.
Gli intervalli di crescita e decrescita si esprimono in ore
Una funzione è crescente in un intervallo se il grafico sale andando verso destra, decrescente se scende e costante se resta orizzontale. Il bidone è crescente in (0, 2) e (7, 9), costante in (2, 4) e (9, 10), decrescente in (4, 7). Gli intervalli usano i valori di x, cioè i tempi, non le altezze. Il valore massimo è 60, mantenuto da 2 a 4; il minimo è 0, per t = 7. Dove un grafico passa da crescente a decrescente c'è un massimo locale; dove passa da decrescente a crescente c'è un minimo locale.
20 litri all'ora in entrata, 20 litri all'ora in uscita
Quanto rapidamente entrava l'acqua? Il tasso medio di variazione tra a e b è la variazione dell'uscita divisa per quella dell'ingresso: (f(b) − f(a)) / (b − a). Dall'ora 0 all'ora 2 vale (60 − 20)/(2 − 0) = 20 litri all'ora. Dall'ora 4 all'ora 7 vale (0 − 60)/(7 − 4) = −20 litri all'ora; il segno negativo indica che l'acqua usciva. Sul grafico è il coefficiente angolare della retta che unisce i due punti. Una retta ha lo stesso tasso di variazione ovunque, mentre una curva può avere tassi medi diversi in intervalli diversi.
Nel laboratorio trascina sul grafico per leggere W(t) in qualsiasi istante e attiva Risolvi f(x) = c per muovere una retta orizzontale. I segni viola indicano tutte le soluzioni di W(t) = c; per c = 60 o c = 30 ottieni un intero intervallo di soluzioni anziché punti isolati, perché lì il grafico è orizzontale.
Trascina per ruotare. Scorri oppure avvicina e allontana due dita per regolare lo zoom.
- Dal grafico del bidone, quanto vale W(1) in litri?
- Quanto vale W(5) in litri?
- Qual è la quantità massima d'acqua nel bidone, in litri?
- In quale intervallo W è costante al livello massimo?
- (2, 4)
- (0, 2)
- (4, 7)
- (9, 10)
- In quale intervallo W è decrescente?
- (4, 7)
- (2, 4)
- (7, 9)
- (0, 2)
- Quante soluzioni ha W(t) = 40?
- Qual è il tasso medio di variazione da t = 0 a t = 2, in litri all'ora?
- Qual è il tasso medio di variazione da t = 4 a t = 7?
- A quale istante t il bidone era vuoto?
- Quanto vale W(8) in litri?
- Dire che W è crescente in (20, 60). 20 e 60 sono altezze. Gli intervalli indicano tempi sull'asse orizzontale, quindi la risposta è (0, 2).
- Calcolare il tasso da t = 2 a t = 7 come (7 − 2)/(0 − 60) = −1/12. La variazione dell'uscita va al numeratore: (0 − 60)/(7 − 2) = −12 litri all'ora.
- Rispondere a W(t) = 30 soltanto con t = 9. Traccia tutta la retta a quota 30. Incontra il grafico per t = 0.5 durante il riempimento e t = 5.5 durante lo svuotamento, poi coincide con esso da 9 a 10: anche tutti i t da 9 a 10 vanno bene.
- f(a): sali da a sull'asse x, poi vai di lato per leggere l'altezza.
- f(x) = c: traccia la retta orizzontale a quota c e leggi ogni x in cui incontra il grafico.
- Gli intervalli di crescita, decrescita e costanza si scrivono con i valori di x.
- Tasso medio di variazione: (f(b) − f(a)) / (b − a), il coefficiente angolare tra due punti.
Fonti di questo corso (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
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- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Consultato il: 2026-10-18