Composition de fonctions
Avec f(x) = 2x + 1 et g(x) = 3 − x, f(g(x)) = 7 − 2x, mais g(f(x)) = 2 − 2x. L'ordre change le résultat.
Remise et bon de réduction : lequel appliquer d'abord ?
Deux façons de payer un article à 50 $. Le magasin applique une remise de 10%, d(x) = 0.9x, et tu disposes d'un bon de 5 $, c(x) = x − 5. Remise puis bon : c(d(50)) = 45 − 5 = 40 dollars. Bon puis remise : d(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50 dollars. Cinquante centimes d'écart. Dans les deux cas, la sortie d'une fonction entre directement dans l'autre. Seul l'ordre change, et il change la facture.
Des abdominaux aux calories : la fonction intérieure agit d'abord
La sortie d'une fonction peut servir d'entrée à la suivante. OpenStax décrit une personne faisant des abdominaux : s(t) est le nombre de répétitions en t minutes, et c(s) le nombre de calories brûlées pour s répétitions. Pour passer des minutes aux calories, on trouve d'abord les répétitions, puis les calories : c(s(t)). Cet enchaînement s'appelle la composition, notée (c ∘ s)(t) = c(s(t)) et lue « c rond s ». La fonction écrite en dernier, à l'intérieur, agit en premier.
f(g(x)) = 7 − 2x, mais g(f(x)) = 2 − 2x
Pour calculer f(g(1)) avec f(x) = 2x + 1 et g(x) = 3 − x, pars de l'intérieur. D'abord g(1) = 3 − 1 = 2. Puis f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Pour obtenir une formule, remplace x dans f par toute l'expression g(x) : f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x. Vérifie avec x = 1 : 7 − 2 = 5, comme avant. Dans l'autre sens, g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x, et g(f(1)) = g(3) = 0. Les deux compositions sont différentes : la composition n'est pas commutative.
f(g(2)) n'est pas f(2) · g(2)
Ne confonds pas composition et multiplication. f(g(x)) signifie « entrer g(x) dans f », tandis que f(x)g(x) signifie « multiplier les deux sorties ». Avec f(x) = x² et g(x) = x + 1, f(g(2)) = f(3) = 9, mais f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12. L'ordre compte encore : g(f(2)) = g(4) = 5. Certaines paires donnent le même résultat dans les deux sens, comme f(x) = 4x et g(x) = x/2, dont les deux compositions valent 2x, mais ce n'est pas la règle générale.
Cherche d'abord la valeur intérieure, et vérifie aussi le domaine depuis l'intérieur
La composition fonctionne aussi avec des tableaux. Si l'un indique g(2) = 5 et un autre f(5) = 1, alors f(g(2)) = f(5) = 1 : il suffit de chercher d'abord la valeur intérieure. Pour le domaine, il faut aussi que x soit admis dans g et que g(x) soit admis dans f. Avec f(x) = 1/x et g(x) = x − 3, f(g(x)) = 1/(x − 3) n'est pas définie en x = 3, car g(3) = 0 ne peut pas entrer dans f. On peut aussi décomposer une fonction : h(x) = (x − 3)² est f(g(x)) avec g(x) = x − 3 à l'intérieur et f(x) = x² à l'extérieur.
Le laboratoire représente les deux ordres par deux chaînes de machines. Choisis f et g dans les listes et modifie l'entrée x. La chaîne du haut fait passer x dans g puis f ; celle du bas dans f puis g. Le panneau écrit les deux compositions sous forme de formules : tu peux voir si l'ordre compte pour la paire choisie.
Fais glisser pour tourner. Fais défiler ou écarte et rapproche deux doigts pour zoomer.
- Avec f(x) = 2x + 1 et g(x) = 3 − x, combien vaut f(g(1)) ?
- Avec les mêmes fonctions, combien vaut g(f(1)) ?
- Quelle formule donne f(g(x)) pour f(x) = 2x + 1 et g(x) = 3 − x ?
- 7 − 2x
- 2 − 2x
- −2x² + 5x + 3
- 4 + x
- Avec f(x) = x² et g(x) = x + 1, combien vaut f(g(2)) ?
- Avec f(x) = x² et g(x) = x + 1, combien vaut g(f(2)) ?
- Avec f(x) = 4x et g(x) = x/2, combien vaut (f ∘ g)(6) ?
- Dans (f ∘ g)(x), quelle fonction agit d'abord ?
- g
- f
- Elles agissent ensemble
- Cela dépend de x
- h(x) = (x − 3)² est f(g(x)). Quelle paire convient ?
- g(x) = x − 3, f(x) = x²
- g(x) = x², f(x) = x − 3
- g(x) = x, f(x) = x − 9
- g(x) = 3x, f(x) = x²
- Un tableau donne g(2) = 5, un autre f(5) = 1. Combien vaut f(g(2)) ?
- Avec f(x) = 1/x et g(x) = x − 3, quelle valeur de x est exclue du domaine de f(g(x)) ?
- Avec f(x) = x + 4 et g(x) = 3x, calculer f(g(2)) en faisant f(2) = 6, puis g(6) = 18. C'est g(f(2)). Pour f(g(2)), commence à l'intérieur : g(2) = 6, puis f(6) = 10.
- Écrire f(g(x)) = (x + 4)(3x) pour la même paire. C'est le produit f(x)g(x). La composition remplace x dans f par 3x : f(g(x)) = 3x + 4.
- Avec f(x) = x² + x et g(x) = x + 1, écrire f(g(x)) = (x + 1)² + x. Les deux x de f sont remplacés : (x + 1)² + (x + 1) = x² + 3x + 2.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)) : appliquer g d'abord, puis f.
- Calcule de l'intérieur vers l'extérieur ; remplace x par toute l'expression g(x) pour obtenir une formule.
- La composition n'est pas commutative : f(g(x)) et g(f(x)) sont généralement différentes.
- Le domaine exige que x soit admis dans g et que g(x) soit admis dans f.
Sources de ce cours (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Consulté le: 2026-10-18