Grenzwerte
Fünf Einheiten über die Idee, die die Analysis zusammenhält. Ausgangspunkt sind die beiden Fragen nach der Steigung einer Kurve und der Fläche darunter. Danach schätzt du Grenzwerte mit Tabellen und Graphen, lernst einseitige und unendliche Grenzwerte kennen, berechnest mit Grenzwertsätzen exakte Werte und beschäftigst dich zum Schluss mit Stetigkeit. In jeder Einheit gibt es ein Analysis-Labor, in dem du x einer Stelle näherst oder eine Sekante verkürzt und beobachtest, wie sich die Zahlen einem Wert nähern.
Bevor du anfängst
Grenzwerte werden an Funktionen wie (x² − 4)/(x − 2) berechnet, daher brauchst du die Funktionsschreibweise aus Funktionen und das Faktorisieren aus Quadratische Funktionen. Quadratwurzeln und die Steigung einer Geraden kommen ebenfalls früh vor. Das Analysis-Labor übernimmt die langen Dezimaltabellen, sodass du dich darauf konzentrieren kannst, wogegen die Zahlen streben.
Wenn du fertig bist
Du kannst erklären, wie sich Sekanten an y = x² einer Tangente nähern, einen Grenzwert aus einer Tabelle abschätzen, in der 3.999 und 4.001 gegen 4 gehen, und einseitige Grenzwerte unterscheiden. Du findest senkrechte Asymptoten, machst mit den Grenzwertsätzen aus 0/0 ein exaktes 1/6, wendest den Einschnürungssatz an und zeigst, dass x³ − x − 1 zwischen 1 und 2 durch null geht.
- 1Die beiden Ausgangsfragen der AnalysisAuf der Kurve y = x² hat die Gerade durch (1, 1) und (2, 4) die Steigung 3. Verschiebst du den zweiten Punkt nach (1.5, 2.25), sinkt die Steigung auf 2.5.
- 2Der Grenzwert einer FunktionDie Funktion (x² − 4)/(x − 2) hat bei x = 2 keinen Wert. Bei x = 1.999 ergibt sie aber 3.999 und bei 2.001 den Wert 4.001.
- 3Einseitige und unendliche GrenzwerteKnapp links von 2 ist |x − 2|/(x − 2) immer −1, knapp rechts von 2 immer 1. Die beiden Seiten stimmen nie überein.
- 4Die GrenzwertsätzeSetzt du x = 9 in (√x − 3)/(x − 9) ein, erhältst du 0/0. Multiplizierst du Zähler und Nenner mit √x + 3, ergibt sich als Grenzwert genau 1/6.
- 5Stetigkeitf(x) = x³ − x − 1 ist bei x = 1 gleich −1 und bei x = 2 gleich 5. Weil der Graph keine Unterbrechung hat, muss er dazwischen die Nulllinie kreuzen.
Quellen zu diesem Kurs (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Abgerufen: 2026-10-17