Ableitungen

Über diesen Kurs

Von allen Rechtecken mit dem Umfang 40 hat das Quadrat mit 10 mal 10 den größten Flächeninhalt. Ein Stein, der aus 64 Fuß Höhe fallen gelassen wird, schlägt bei t = 2 mit 64 Fuß pro Sekunde auf. Beide Antworten stammen aus derselben Idee: der Ableitung, der Steigung einer Kurve in einem einzigen Punkt. Der Kurs baut sie von Grund auf, beginnend mit der Sekante von x = 1 bis x = 1 + h an f(x) = x², deren Steigung genau 2 + h ist, sodass 2 übrig bleibt, wenn h schrumpft.

Die sechs Einheiten führen von der Definition zur Anwendung. Zuerst wird die Ableitung definiert, dann die Ableitung als Funktion: Für x² ergibt die eine Formel f′(x) = 2x den Wert −6 bei x = −3, 0 ganz unten und 6 bei x = 3. Die Potenzregel folgt, sodass die Ableitung von x¹⁰ gleich 10x⁹ ist, ohne dass ein Grenzwert nötig wäre. Produkt-, Quotienten- und Kettenregel kommen als Nächstes, und die Kettenregel liefert die Ableitung von (3x + 1)⁴ in einer Zeile, statt fünf Terme auszumultiplizieren. Änderungsraten machen aus der Höhe eine Geschwindigkeit, und die letzte Einheit sucht Stellen mit der Steigung null, um höchste und tiefste Punkte zu finden. Im Analysis-Labor ziehst du einen Punkt, sodass eine Sekante zur Tangente schrumpft, und ein lila Punkt auf der gestrichelten Ableitungskurve liegt in der Höhe der Steigung, die du gerade abliest. Mit f(x) = x³ − 3x kannst du über Hoch- und Tiefpunkt fahren und zusehen, wie die Steigung null erreicht.