Dérivées
Six unités consacrées à la dérivée, qui donne la pente d'une courbe en un point. Tu la définis comme une limite de pentes de sécantes, puis tu l'étudies comme une nouvelle fonction, avec sa propre courbe. Tu apprends les règles de calcul, tu les appliques à la vitesse et à l'accélération, puis tu cherches les points les plus hauts et les plus bas d'une courbe. Dans le laboratoire de calcul différentiel, tu rapproches une sécante d'une tangente et tu déplaces une tangente sur une courbe en suivant l'évolution de sa pente.
Avant de commencer
La dérivée est définie comme la limite de pentes de sécantes ; commence donc par Limites. Être à l’aise avec les exposants, le développement de parenthèses et la pente d’une droite aide tout au long du cours, et l’unité sur les règles du produit, du quotient et de la chaîne fait aussi dériver le sinus et le cosinus ; mieux vaut donc connaître un peu ces fonctions.
À la fin du cours
Ensuite, tu pourras trouver la dérivée de x² à partir du taux d’accroissement, lire f′(x) = 2x comme une pente pour chaque x et dériver x¹⁰ avec la règle de la puissance. Tu utiliseras les règles du produit, du quotient et de la chaîne, transformeras une formule de hauteur en vitesse et en accélération pour une pierre qui tombe et montreras que le carré de 10 sur 10 a la plus grande aire pour un périmètre de 40.
- 1Définir la dérivéePour f(x) = x², la pente de la sécante entre x = 1 et x = 1 + h vaut exactement 2 + h. Lorsque h tend vers zéro, il ne reste que 2.
- 2La dérivée comme fonctionLa pente de y = x² vaut −6 en x = −3, 0 au point le plus bas et 6 en x = 3. Une seule formule, f′(x) = 2x, les donne toutes.
- 3La règle des puissances et les règles de baseLa dérivée de x¹⁰ est 10x⁹. Fais passer l'exposant devant, puis diminue-le d'une unité : aucune limite à calculer.
- 4Dériver un produit, un quotient et une composéeDévelopper (3x + 1)⁴ donne cinq termes à calculer. La règle de dérivation d'une composée donne sa dérivée, 12(3x + 1)³, en une ligne.
- 5Les dérivées comme taux de variationUne pierre lâchée de 64 pieds de haut se trouve à la hauteur −16t² + 64. En dérivant une fois, tu obtiens sa vitesse, −32t ; elle touche le sol à t = 2, à une vitesse de 64 pieds par seconde.
- 6Maximums et minimumsParmi tous les rectangles de périmètre 40, celui de plus grande aire est le carré de 10 sur 10. Avec la dérivée, tu le trouves en cherchant une pente nulle.
Sources de ce cours (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Consulté le: 2026-10-17