Производные

Шесть уроков о производной: угловом коэффициенте касательной к кривой в одной точке. Ты определишь её как предел угловых коэффициентов секущих, рассмотришь как новую функцию со своим графиком, освоишь правила быстрого вычисления, применишь к скорости и ускорению и в конце найдёшь наибольшие и наименьшие значения функции. В лаборатории математического анализа можно сближать точки секущей до получения касательной и перемещать касательную вдоль кривой, наблюдая за изменением её наклона.

Прогресс

О курсе

Из всех прямоугольников с периметром 40 наибольшую площадь имеет квадрат 10 на 10. Камень, брошенный с высоты 64 фута, достигает земли при t = 2 со скоростью 64 фута в секунду. Оба ответа получаются из одной и той же идеи: производной, то есть наклона кривой в одной точке. Курс строит её с нуля, начиная с секущей от x = 1 до x = 1 + h на f(x) = x², наклон которой равен ровно 2 + h, так что при уменьшении h остаётся 2.

Шесть разделов ведут от определения к применению. Сначала определение производной, потом производная как функция: для x² одна формула f′(x) = 2x даёт −6 при x = −3, 0 внизу и 6 при x = 3. Затем правило степени, по которому производная x¹⁰ равна 10x⁹ без всяких пределов. Дальше правила произведения, частного и сложной функции, и последнее даёт производную (3x + 1)⁴ одной строкой вместо раскрытия пяти слагаемых. Скорости изменения превращают высоту в скорость, а последний раздел ищет нулевые наклоны, чтобы найти самую высокую и самую низкую точки. В лаборатории математического анализа ты тянешь точку, и секущая сжимается в касательную, а фиолетовая точка на пунктирной кривой производной стоит на высоте того наклона, который ты читаешь. Для f(x) = x³ − 3x можно провести точку через вершину и впадину и увидеть, как наклон доходит до нуля.

Перед началом

Производная определяется как предел наклонов секущих, поэтому начни с Пределы. Весь курс помогает привычка к показателям степени, раскрытию скобок и наклону прямой, а в теме о правилах произведения, частного и сложной функции дифференцируются ещё синус и косинус, поэтому полезно хоть немного знать эти функции.

Когда закончишь

После курса ты сможешь найти производную x² из разностного отношения, прочитать f′(x) = 2x как наклон при каждом x и продифференцировать x¹⁰ по правилу степени. Ты применишь правила произведения, частного и сложной функции, превратишь формулу высоты в скорость и ускорение падающего камня и покажешь, что квадрат 10 на 10 имеет наибольшую площадь при периметре 40.

Источники курса (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

Проверено: 2026-10-17