Пределы
Пять уроков об идее, на которой держится математический анализ. Начнём с двух задач, приведших к его появлению: наклона кривой и площади под ней. Затем научимся оценивать пределы по таблицам и графикам, познакомимся с односторонними и бесконечными пределами, найдём точные значения с помощью свойств пределов и закончим непрерывностью. В каждом уроке есть лаборатория: приближай x к точке или сокращай секущую и наблюдай, к чему стремятся числа.
Перед началом
Пределы вычисляются для функций вроде (x² − 4)/(x − 2), поэтому нужна запись функций из Функции и разложение на множители, которое отрабатывается в Квадратные уравнения и функции. Квадратные корни и наклон прямой тоже появляются рано. Длинные таблицы десятичных дробей считает лаборатория анализа, а ты можешь сосредоточиться на том, к чему приближаются числа.
Когда закончишь
Ты сможешь объяснить, как секущие к y = x² приближаются к касательной, оценить предел по таблице, где 3.999 и 4.001 приближаются к 4, и различить односторонние пределы. Ты найдёшь вертикальные асимптоты, превратишь 0/0 в точное 1/6 по законам пределов, применишь теорему о сжатой переменной и покажешь, что x³ − x − 1 обращается в нуль между 1 и 2.
- 1Две задачи, с которых начался математический анализНа кривой y = x² прямая через (1, 1) и (2, 4) имеет угловой коэффициент 3. Передвинь вторую точку в (1.5, 2.25), и коэффициент уменьшится до 2.5.
- 2Предел функцииФункция (x² − 4)/(x − 2) не определена при x = 2, но при x = 1.999 даёт 3.999, а при 2.001 даёт 4.001.
- 3Односторонние и бесконечные пределыЧуть левее 2 выражение |x − 2|/(x − 2) всегда равно −1; чуть правее 2 оно всегда равно 1. Результаты с двух сторон не совпадают.
- 4Свойства пределовПодставь x = 9 в (√x − 3)/(x − 9) и получишь 0/0. Умножь числитель и знаменатель на √x + 3, и окажется, что предел точно равен 1/6.
- 5Непрерывностьf(x) = x³ − x − 1 равна −1 при x = 1 и 5 при x = 2. Поскольку разрывов нет, где-то между ними она должна пересечь ноль.
Источники курса (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Проверено: 2026-10-17