Свойства пределов

Подставь x = 9 в (√x − 3)/(x − 9) и получишь 0/0. Умножь числитель и знаменатель на √x + 3, и окажется, что предел точно равен 1/6.

От оценок к точным значениям

Таблицы дают хорошие предположения, но ничего не доказывают. Свойства пределов позволяют вычислять пределы точно, разбивая функцию на простые части. Начнём с двух основных пределов: lim_x→a x = a и lim_x→a c = c для постоянной c. Оба очевидны по графику. Затем свойства объясняют, как объединяются пределы. Пусть lim_x→a f(x) = L и lim_x→a g(x) = M, где оба значения действительные.

• Сумма и разность: lim (f ± g) = L ± M.
• Постоянный множитель: lim c·f = c·L.
• Произведение: lim f·g = L·M.
• Частное: lim f/g = L/M при условии M ≠ 0.
• Степень: lim fⁿ = Lⁿ для натурального n.
• Корень: lim ⁿ√f = ⁿ√L (при чётном n число L должно быть не меньше 0).

Последовательное применение этих свойств показывает: для любого многочлена p имеем lim_x→a p(x) = p(a). То же верно для рациональной функции p(x)/q(x) при q(a) ≠ 0. Поэтому обычно, если функция построена из x с помощью сумм, произведений и частных, а знаменатель в a не равен нулю, достаточно подставить a. Это непосредственная подстановка. Например, lim_x→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10, а lim_x→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Когда подстановка даёт 0/0

Интереснее те пределы, где подстановка не помогает. Если числитель и знаменатель стремятся к 0, свойство частного неприменимо, а 0/0 пока ни о чём не говорит: предел может быть любым числом или не существовать. Нужно переписать функцию так, чтобы при x ≠ a она совпадала с более удобной. Первый приём: разложение на множители. У (x² − 5x + 6)/(x − 3) числитель равен (x − 2)(x − 3), поэтому при x ≠ 3 функция равна x − 2, а предел при 3 равен 1. Сокращать можно, поскольку предел не использует саму точку x = 3.

Второй приём при наличии квадратного корня: умножение на сопряжённое выражение. Для (√x − 3)/(x − 9) умножь числитель и знаменатель на √x + 3. В числителе получится x − 9; после сокращения останется 1/(√x + 3). Теперь подстановка работает: 1/(3 + 3) = 1/6. Третий приём для многоэтажных дробей: сначала приведи внутренние дроби к общему знаменателю. Все три способа убирают множитель, который обращает обе части в ноль.

Теорема о зажатой функции

Некоторые пределы не поддаются алгебре. Здесь помогает теорема о зажатой функции: если вблизи a выполнено f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), а f и h имеют в a один предел L, то предел g тоже равен L. Функция зажата между ними. OpenStax применяет эту теорему к рисунку единичной окружности, чтобы доказать: (sin θ)/θ стремится к 1 при θ, стремящемся к 0. В разделе 2 мы могли лишь оценить этот предел по таблице. Позже он станет ключевым шагом при выводе производной синуса в курсе о производных.