Непрерывность

f(x) = x³ − x − 1 равна −1 при x = 1 и 5 при x = 2. Поскольку разрывов нет, где-то между ними она должна пересечь ноль.

Три условия

Неформально функция непрерывна, если её график можно нарисовать, не отрывая карандаш. Эта картина полезна, но математическому анализу нужна проверяемая формулировка. OpenStax даёт три условия непрерывности f в точке a. Во-первых, f(a) определено. Во-вторых, lim_x→a f(x) существует. В-третьих, они равны: lim_x→a f(x) = f(a). Если хотя бы одно условие нарушено, f имеет разрыв в a. Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Проверяй условия по порядку и останавливайся при первом нарушении. Для (x² − 4)/(x − 2) в 2 первое условие не выполнено, поскольку f(2) не определено. Для функции x + 2, у которой f(2) = 1, первые два выполнены (f(2) = 1, предел 4), а третье нет. Для x² в 1 выполнены все три: f(1) = 1, предел равен 1, они совпадают. Многочлены непрерывны всюду, а рациональные функции непрерывны там, где их знаменатели не равны нулю; это прямо следует из свойств пределов.

Виды разрывов

Различают три вида разрывов, соответствующие трём вариантам поведения предела. При устранимом разрыве предел есть, но функция в точке либо не определена, либо имеет неподходящее значение. Исправить можно одной точкой: задать f(a) равным пределу. При разрыве первого рода со скачком оба односторонних предела существуют, но различаются, и график скачком поднимается или опускается. При бесконечном разрыве хотя бы один односторонний предел равен ±∞, то есть есть вертикальная асимптота. Рациональные функции показывают первый и третий виды; у кусочно заданных часто встречаются скачки.

Для кусочно заданных функций часто предлагают подобрать постоянную так, чтобы части соединились. Пусть f(x) = x + k при x < 1 и f(x) = 2x² при x ≥ 1. Правая часть даёт f(1) = 2 и предел справа 2. Предел слева равен 1 + k. Для непрерывности в 1 они должны совпасть: 1 + k = 2, значит, k = 1. При любом другом k в x = 1 остаётся скачок.

Теорема о промежуточных значениях

Из непрерывности следует важный результат. Теорема о промежуточных значениях утверждает: если f непрерывна на отрезке [a, b], а z лежит между f(a) и f(b), то найдётся хотя бы одна точка c в [a, b], где f(c) = z. Непрерывная функция не может пропускать значения. Возьмём f(x) = x³ − x − 1: f(1) = −1 и f(2) = 5, поэтому где-то между 1 и 2 функция принимает значение 0. Теорема гарантирует существование корня, но не указывает его положение. Последовательное деление отрезка пополам помогает найти его: f(1.5) = 0.875 > 0, значит, корень в [1, 1.5]; f(1.25) ≈ −0.297 < 0, значит, он в [1.25, 1.5], и так далее. Корень примерно равен 1.3247.