Stetigkeit

f(x) = x³ − x − 1 ist bei x = 1 gleich −1 und bei x = 2 gleich 5. Weil der Graph keine Unterbrechung hat, muss er dazwischen die Nulllinie kreuzen.

Drei Bedingungen

Anschaulich ist eine Funktion stetig, wenn du ihren Graphen zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen. Das Bild ist hilfreich, doch die Analysis braucht überprüfbare Bedingungen. OpenStax nennt drei Bedingungen für die Stetigkeit von f an einer Stelle a: Erstens ist f(a) definiert. Zweitens existiert lim_x→a f(x). Drittens stimmen beide überein: lim_x→a f(x) = f(a). Scheitert eine Bedingung, ist f bei a unstetig. Auf einem Intervall ist eine Funktion stetig, wenn sie an jedem Punkt darin stetig ist.

Prüfe die Bedingungen der Reihe nach und höre beim ersten Fehlschlag auf. Bei (x² − 4)/(x − 2) an der Stelle 2 scheitert die erste Bedingung, weil f(2) nicht definiert ist. Bei der Funktion x + 2 mit dem abweichenden Wert f(2) = 1 gelten die ersten beiden Bedingungen (f(2) = 1, Grenzwert 4), aber die dritte nicht. Bei x² an der Stelle 1 gelten alle drei: f(1) = 1, der Grenzwert ist 1, und beide stimmen überein. Polynome sind überall stetig, rationale Funktionen überall dort, wo ihr Nenner nicht null ist. Das folgt direkt aus den Grenzwertsätzen.

Arten von Unstetigkeit

Es gibt drei Arten von Unstetigkeit, passend zu den drei möglichen Verhaltensweisen eines Grenzwerts. Bei einer hebbaren Unstetigkeit existiert der Grenzwert, aber die Funktion ist dort entweder nicht definiert oder hat den falschen Wert. Ein einzelner Punkt kann das beheben: Setze f(a) gleich dem Grenzwert. Bei einer Sprungstelle existieren beide einseitigen Grenzwerte, sind aber verschieden. Der Graph springt nach oben oder unten. Bei einer unendlichen Unstetigkeit ist mindestens ein einseitiger Grenzwert gleich ±∞. Dort liegt eine senkrechte Asymptote. Rationale Funktionen zeigen die erste und dritte Art, stückweise definierte Funktionen oft Sprünge.

Bei stückweise definierten Funktionen lautet eine häufige Aufgabe: Wähle eine Konstante so, dass die Teile zusammenpassen. Sei f(x) = x + k für x < 1 und f(x) = 2x² für x ≥ 1. Der rechte Teil liefert f(1) = 2 und den rechtsseitigen Grenzwert 2. Der linksseitige Grenzwert ist 1 + k. Für Stetigkeit bei 1 müssen sie übereinstimmen, also 1 + k = 2 und k = 1. Jedes andere k lässt bei x = 1 einen Sprung bestehen.

Der Zwischenwertsatz

Stetigkeit hat eine starke Folge. Der Zwischenwertsatz besagt: Ist f auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und z eine beliebige Zahl zwischen f(a) und f(b), dann gibt es mindestens ein c in [a, b] mit f(c) = z. Eine stetige Funktion kann keine Werte überspringen. Bei f(x) = x³ − x − 1 gilt f(1) = −1 und f(2) = 5. Also nimmt f irgendwo zwischen 1 und 2 den Wert 0 an. Der Satz zeigt, dass eine Nullstelle existiert, ohne ihren Ort zu verraten. Durch wiederholtes Halbieren des Intervalls findet man sie: f(1.5) = 0.875 > 0, also liegt sie in [1, 1.5]. f(1.25) ≈ −0.297 < 0, also liegt sie in [1.25, 1.5], und so weiter. Die Nullstelle liegt etwa bei 1.3247.