연속

f(x) = x³ − x − 1은 x = 1에서 −1, x = 2에서 5입니다. 끊긴 곳이 없으니 그 사이 어딘가에서 반드시 0을 지납니다.

세 가지 조건

쉽게 말하면, 연필을 종이에서 떼지 않고 그래프를 끝까지 그릴 수 있을 때 그 함수가 연속입니다. 이 그림은 쓸모가 있지만, 미적분에서는 하나하나 확인할 수 있는 기준이 필요합니다. OpenStax 교재는 f가 한 점 a에서 연속이기 위한 세 조건을 듭니다. 첫째, f(a)가 정의되어 있습니다. 둘째, lim_x→a f(x)가 존재합니다. 셋째, 둘이 같습니다. lim_x→a f(x) = f(a)입니다. 이 가운데 하나라도 어긋나면 f는 a에서 불연속입니다. 또 함수가 어떤 구간의 모든 점에서 연속이면, 그 함수는 그 구간에서 연속이라고 합니다.

세 조건은 순서대로 확인하고, 처음으로 어긋나는 곳에서 멈추면 됩니다. 예를 들어 2에서 (x² − 4)/(x − 2)는 f(2)가 정의되지 않으므로 첫째 조건에서부터 어긋납니다. f(2) = 1만 빼고 x + 2인 함수는 앞의 두 조건(f(2) = 1, 극한 4)은 맞지만 셋째에서 어긋납니다. 반면에 1에서 x²는 세 조건이 모두 맞습니다. f(1) = 1, 극한이 1, 둘이 같습니다. 다항식은 어디서나 연속이고, 유리함수는 분모가 0이 아닌 곳에서 연속입니다. 이것은 앞 단원의 극한 법칙에서 바로 나오는 결과입니다.

불연속의 종류

불연속에는 세 종류가 있고, 이것은 극한이 보일 수 있는 세 가지 모습과 짝을 이룹니다. 제거 가능한 불연속은 극한은 있는데 함수가 그 점에서 정의되지 않거나 엉뚱한 값으로 정의된 경우입니다. 이런 불연속은 점 하나만 바꾸면 고칠 수 있습니다. f(a)를 극한값으로 다시 정하면 됩니다. 점프 불연속은 두 한쪽 극한이 모두 있지만 그 값이 서로 달라서, 그래프가 그 점에서 계단처럼 위나 아래로 한 칸 옮겨 가는 경우입니다. 무한 불연속은 한쪽 극한 가운데 적어도 하나가 ±∞인 경우로, 수직 점근선이 있다는 뜻입니다. 유리함수에서는 첫째와 셋째가, 조각 함수에서는 점프가 자주 보입니다.

조각 함수에서는 조각들이 서로 만나도록 상수를 고르는 연습 문제가 흔히 나옵니다. x < 1에서 f(x) = x + k, x ≥ 1에서 f(x) = 2x²라고 합시다. 오른쪽 조각에서 f(1) = 2이고 오른쪽 극한도 2입니다. 왼쪽 극한은 1 + k입니다. 함수가 1에서 연속이려면 이 두 값이 같아야 하므로 1 + k = 2, k = 1입니다. 그 밖의 다른 k를 고르면 x = 1에서 점프가 남습니다.

사잇값 정리

연속성에서는 아주 강력한 결과 하나가 나옵니다. 사잇값 정리는 이렇게 말합니다. f가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 z가 f(a)와 f(b) 사이의 어떤 수이면, f(c) = z인 c가 [a, b]에 적어도 하나 있습니다. 다시 말해 연속함수는 중간의 값을 건너뛸 수 없습니다. f(x) = x³ − x − 1을 보면 f(1) = −1, f(2) = 5이므로 1과 2 사이 어딘가에서 f는 0이 됩니다. 이 정리는 근이 있다는 것만 말해 주고, 그 근이 어디에 있는지는 말해 주지 않습니다. 근의 위치는 구간을 계속 반으로 나누어 가면 찾을 수 있습니다. f(1.5) = 0.875 > 0이므로 근은 [1, 1.5]에 있고, f(1.25) ≈ −0.297 < 0이므로 [1.25, 1.5]에 있는 식입니다. 근은 약 1.3247입니다.