극한
미적분 전체를 떠받치는 극한을 다섯 단원으로 배웁니다. 미적분이 생겨난 두 가지 물음, 곧은 선이 아닌 곡선의 기울기와 곡선 아래 넓이에서 출발해 표와 그래프로 극한을 어림하고, 한쪽 극한과 무한 극한을 만나고, 극한 법칙으로 정확한 값을 계산한 뒤 연속성으로 마무리합니다. 단원마다 x를 한 점으로 다가가게 하거나 할선을 줄여 가며 숫자가 어디로 모이는지 보는 미적분 실험실이 있습니다.
진도
시작하기 전에
극한은 (x² − 4)/(x − 2) 같은 함수에서 계산하므로 함수의 함수 표기법과 이차방정식에서 연습한 인수분해가 필요합니다. 제곱근과 직선의 기울기도 초반부터 나옵니다. 긴 소수 표는 실습 도구가 계산해 주므로 수가 어디로 다가가는지에만 집중하면 됩니다.
마치고 나면
y = x² 위의 할선이 접선으로 다가가는 과정을 설명하고, 3.999와 4.001이 4로 다가가는 표에서 극한을 어림하며, 좌극한과 우극한을 구별할 수 있습니다. 수직 점근선을 찾고, 극한 법칙으로 0/0 꼴을 정확한 값 1/6로 바꾸며, 조임 정리를 쓰고, 연속성을 이용해 x³ − x − 1이 1과 2 사이에서 0을 지난다는 것을 보일 수 있습니다.
- 1미적분을 낳은 두 가지 물음곡선 y = x²에서 (1, 1)과 (2, 4)를 지나는 직선의 기울기는 3입니다. 둘째 점을 (1.5, 2.25)로 옮기면 기울기가 2.5로 줄어듭니다.
- 2함수의 극한함수 (x² − 4)/(x − 2)는 x = 2에서 값이 없는데, x = 1.999에서는 3.999, 2.001에서는 4.001이 나옵니다.
- 3한쪽 극한과 무한 극한2의 바로 왼쪽에서 |x − 2|/(x − 2)는 언제나 −1이고, 바로 오른쪽에서는 언제나 1입니다. 두 쪽이 끝내 만나지 않습니다.
- 4극한 법칙(√x − 3)/(x − 9)에 x = 9를 넣으면 0/0입니다. 분자와 분모에 √x + 3을 곱하면 극한이 정확히 1/6로 나옵니다.
- 5연속f(x) = x³ − x − 1은 x = 1에서 −1, x = 2에서 5입니다. 끊긴 곳이 없으니 그 사이 어딘가에서 반드시 0을 지납니다.
이 과정의 출처 (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
확인한 날: 2026-10-17