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홈›미적분›극한

극한 법칙

(√x − 3)/(x − 9)에 x = 9를 넣으면 0/0입니다. 분자와 분모에 √x + 3을 곱하면 극한이 정확히 1/6로 나옵니다.

어림값에서 정확한 값으로

표는 좋은 추측을 하게 해 주지만, 그것만으로는 아무것도 증명하지 못합니다. 극한 법칙을 쓰면 함수를 간단한 조각들로 나누어 극한을 정확하게 계산할 수 있습니다. 모든 계산은 두 가지 기본 극한에서 시작합니다. limx→a x = a이고, 상수 c에 대해 limx→a c = c입니다. 이 두 극한은 둘 다 그래프를 보면 당연합니다. 그다음에 오는 극한 법칙들은 여러 극한이 서로 어떻게 합쳐지는지를 알려 줍니다. limx→a f(x) = L, limx→a g(x) = M이고 둘 다 실수라고 합시다.

  • 합과 차: lim (f ± g) = L ± M
  • 상수배: lim c·f = c·L
  • 곱: lim f·g = L·M
  • 몫: M ≠ 0이면 lim f/g = L/M
  • 거듭제곱: 양의 정수 n에 대해 lim fn = Ln
  • 거듭제곱근: lim n√f = n√L (n이 짝수면 L은 0 이상)

이 법칙들을 차례로 적용하면 어떤 다항식 p에 대해서도 limx→a p(x) = p(a)임을 알 수 있습니다. 유리함수 p(x)/q(x)도 q(a) ≠ 0인 곳이라면 어디에서나 마찬가지입니다. 그래서 대부분의 경우, 함수가 x로부터 합과 곱과 몫으로 만들어져 있고 a에서 분모가 0이 아니라면 그냥 a를 대입하면 됩니다. 이 방법을 직접 대입이라고 부릅니다. 예를 들어 limx→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10이고, limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1입니다.

대입하면 0/0이 나올 때

정말 재미있는 극한은 대입이 통하지 않는 경우입니다. 분자와 분모가 모두 0으로 가면 몫의 법칙을 쓸 수 없고, 0/0은 아직 아무것도 알려 주지 않습니다. 극한은 어떤 수가 될 수도 있고, 아예 존재하지 않을 수도 있습니다. 이럴 때의 해결책은, x ≠ a인 곳에서 더 다루기 쉬운 다른 함수와 값이 같아지도록 식을 고쳐 쓰는 것입니다. 이때 쓰는 첫 번째 도구는 인수분해입니다. (x² − 5x + 6)/(x − 3)의 분자는 (x − 2)(x − 3)이므로 x ≠ 3에서 함수는 x − 2와 같고 3에서 극한은 1입니다. 극한은 x = 3 자체를 쓰지 않으므로 약분해도 됩니다.

두 번째 도구는 식에 제곱근이 들어 있을 때 켤레식을 곱하는 것입니다. (√x − 3)/(x − 9)에서 분자와 분모에 √x + 3을 곱하면 분자가 x − 9가 되어 분모와 약분되고 1/(√x + 3)이 남습니다. 이제는 대입이 통하므로, 대입하면 1/(3 + 3) = 1/6입니다. 세 번째 도구는 번분수에 쓰는 것으로, 안에 든 작은 분수들을 먼저 공통분모로 묶어 통분하는 것입니다. 세 도구가 하는 일은 모두 같습니다. 분자와 분모를 함께 0으로 만드는 인수를 없앱니다.

조임 정리

어떤 극한은 대수 계산으로 풀리지 않습니다. 조임 정리는 그런 극한을 다룰 때 씁니다. a 근처에서 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)이고 f와 h의 극한이 모두 L이면, g의 극한도 L입니다. g는 f와 h 사이에 갇혀 있기 때문입니다. OpenStax 교재는 단위원 그림과 함께 이 정리를 써서, θ가 0으로 다가갈 때 (sin θ)/θ가 1로 다가감을 증명합니다. 이것은 2단원에서 표로만 어림할 수 있었던 바로 그 극한입니다. 이 극한은 미분 과정에서 사인의 도함수를 구할 때 결정적인 한 걸음이 됩니다.

무엇이든 인수분해부터 하지 말고, 먼저 대입부터 해 보세요. 대입해서 분모가 0이 아닌 실수가 나오면 그 수가 바로 극한이고, 계산은 거기서 끝납니다. 0/0이 나올 때만 위의 고쳐 쓰기 도구가 필요하고, 0이 아닌 수를 0으로 나누는 꼴이면 무한 극한을 뜻합니다.
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0 근처의 (sin x)/x입니다. 어느 쪽에서 다가가도 표가 1을 보여 주고, 조임 정리가 그 값을 증명합니다.
  1. limx→3 (2x² − 3x + 1) = ?
  2. limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = ?
  3. limx→3 (x² − 5x + 6)/(x − 3) = ?
  4. limx→9 (√x − 3)/(x − 9) = ? (소수 셋째 자리까지)
  5. limx→−1 (x² − 1)/(x + 1) = ?
  6. a에서 lim f = 4, lim g = −2입니다. lim (3f − g) = ?
  7. 같은 f, g에서 lim f·g = ?
  8. 같은 f, g에서 lim f/g = ?
  9. 같은 f에서 lim f³ = ?
  10. 대입했더니 0/0이 나왔습니다. 극한에 대해 무엇을 알 수 있을까요?
    • 아직 아무것도 모름, 식을 고쳐 써야 함
    • 극한은 0
    • 극한은 존재하지 않음
    • 극한은 1
  11. 0 근처에서 1 − x² ≤ g(x) ≤ 1 + x²이면 limx→0 g(x)는?
    • 1
    • 0
    • 2
    • 알 수 없음
핵심 정리
  • 극한 법칙: 합, 상수배, 곱, 몫(분모가 0이 아닐 때), 거듭제곱, 거듭제곱근
  • 다항식과 q(a) ≠ 0인 유리함수는 바로 대입합니다.
  • 0/0이면 인수분해, 켤레식 곱하기, 통분 뒤 대입합니다.
  • 조임 정리: 같은 극한을 가진 두 함수 사이에 갇힌 함수도 그 극한을 가집니다.
이 과정의 출처 (5)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
  • 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
  • 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
  • 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
  • 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

확인한 날: 2026-10-17