As propriedades dos limites

Substitua x = 9 em (√x − 3)/(x − 9) e obterá 0/0. Multiplique o numerador e o denominador por √x + 3 e o limite será exatamente 1/6.

Das estimativas aos valores exatos

Tabelas dão boas estimativas, mas nunca demonstram nada. As propriedades dos limites permitem calcular limites exatos dividindo uma função em partes simples. Tudo começa com dois limites básicos: lim_x→a x = a e lim_x→a c = c, para uma constante c. Ambos são evidentes em um gráfico. As propriedades dizem como os limites se combinam. Suponha que lim_x→a f(x) = L e lim_x→a g(x) = M, ambos números reais.

• Soma e diferença: lim (f ± g) = L ± M.
• Múltiplo constante: lim c·f = c·L.
• Produto: lim f·g = L·M.
• Quociente: lim f/g = L/M, desde que M ≠ 0.
• Potência: lim fⁿ = Lⁿ para um inteiro positivo n.
• Raiz: lim ⁿ√f = ⁿ√L (para n par, L deve ser pelo menos 0).

Aplicadas sucessivamente, essas propriedades mostram que, para qualquer polinômio p, lim_x→a p(x) = p(a). O mesmo vale para uma função racional p(x)/q(x) onde q(a) ≠ 0. Assim, na maioria dos casos, se uma função é formada a partir de x com somas, produtos e quocientes, e o denominador não é zero em a, basta substituir. Isso é a substituição direta. Por exemplo, lim_x→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10, e lim_x→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Quando a substituição resulta em 0/0

Os limites mais interessantes são aqueles em que a substituição falha. Se tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, a propriedade do quociente não se aplica, e 0/0 ainda não informa nada: o limite pode ser qualquer número ou não existir. A solução é reescrever a função de modo que coincida com uma expressão mais simples para x ≠ a. A fatoração é a primeira ferramenta. Em (x² − 5x + 6)/(x − 3), o numerador é (x − 2)(x − 3), então, para x ≠ 3, a função é igual a x − 2 e o limite em 3 é 1. O cancelamento é válido porque o limite nunca usa o próprio x = 3.

A segunda ferramenta é multiplicar pelo conjugado quando há uma raiz quadrada. Para (√x − 3)/(x − 9), multiplique o numerador e o denominador por √x + 3. O numerador se torna x − 9, que se cancela com o denominador, restando 1/(√x + 3). Agora a substituição funciona: 1/(3 + 3) = 1/6. Uma terceira ferramenta, para frações complexas, é primeiro reunir as frações menores em um denominador comum. As três ferramentas cumprem a mesma função: remover o fator que zera as duas partes.

O teorema do confronto

Alguns limites resistem à álgebra. O teorema do confronto resolve esses casos: se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x perto de a, e f e h têm limite L em a, então g também tem limite L. Ela fica entre as outras duas. A OpenStax usa o teorema com uma figura do círculo trigonométrico para demonstrar que (sin θ)/θ tende a 1 quando θ tende a 0, limite que a unidade 2 só pôde estimar com uma tabela. Esse limite será uma etapa essencial no cálculo da derivada do seno, no curso de derivadas.