As duas perguntas que deram origem ao cálculo

Na curva y = x², a reta que passa por (1, 1) e (2, 4) tem inclinação 3. Mova o segundo ponto para (1.5, 2.25) e a inclinação cai para 2.5.

A inclinação de uma reta é fácil de calcular

Uma reta tem a mesma taxa de variação em qualquer ponto. Em f(x) = −2x − 3, cada passo de 1 para a direita faz y diminuir 2, portanto a inclinação é −2 em todos os pontos. Em g(x) = (1/2)x + 1, y aumenta meia unidade por passo; em h(x) = 2, y nunca muda, então a inclinação é 0. A OpenStax começa a seção sobre taxas de variação, no capítulo de limites, justamente com essas três retas, pois elas mostram o significado de uma taxa de variação quando a resposta é um único número.

Agora veja k(x) = x². Vindo da esquerda, o gráfico desce acentuadamente, fica quase horizontal perto da origem e depois sobe cada vez mais rápido à direita. Um único número não descreve sua taxa de variação. A inclinação depende do ponto escolhido. Este é o problema da tangente: como encontrar a inclinação de uma curva em um ponto? A reta que toca a curva naquele ponto, a reta tangente, tem a inclinação procurada. Mas ela passa por apenas um ponto conhecido, e precisamos de dois para calcular uma inclinação.

As secantes se aproximam da tangente

A saída é usar um segundo ponto que também esteja na curva. Uma reta que passa por dois pontos de uma curva é uma secante, cuja inclinação é m = (f(x) − f(a))/(x − a). Para f(x) = x² em a = 1, a secante que passa por (2, 4) tem inclinação (4 − 1)/(2 − 1) = 3. A que passa por (1.5, 2.25) tem inclinação (2.25 − 1)/0.5 = 2.5. Passando por (1.25, 1.5625), a inclinação é 2.25. Conforme o segundo ponto se aproxima de (1, 1), as secantes se aproximam de uma única reta e suas inclinações se aproximam de um único número, 2. Essa reta é a tangente, e 2 é sua inclinação.

O mesmo procedimento responde a uma pergunta de física. A OpenStax solta uma pedra de 64 pés de altura, cuja altura após t segundos é s(t) = −16t² + 64. A velocidade média em um intervalo de tempo é a variação de altura dividida pela variação de tempo. Em [0.49, 0.5], ela é −15.84 pés por segundo; em [0.5, 0.51], é −16.16. A velocidade instantânea em t = 0.5 deve estar entre elas, e intervalos ainda menores apontam para −16. A velocidade média em um intervalo é a inclinação de uma secante; a velocidade instantânea é a inclinação de uma tangente.

O problema da área

A segunda pergunta é sobre área. Qual é a área entre o gráfico de f(x) = x² + 1 e o eixo x, de x = 0 a x = 3? A geometria não oferece uma fórmula para uma região com o contorno superior curvo. Ainda assim, podemos estimá-la com retângulos. Divida [0, 3] em três partes de largura 1 e use a altura da curva na extremidade esquerda de cada parte: as alturas 1, 2 e 5 dão retângulos de áreas 1, 2 e 5, cuja soma é 8. Retângulos mais estreitos acompanham melhor a curva. A área exata é o valor do qual as somas se aproximam quando as larguras tendem a zero.

Os dois problemas terminam do mesmo modo: calcule algo que já sabe calcular (a inclinação de uma secante, uma soma de áreas de retângulos) e pergunte o que acontece quando uma distância tende a zero. Esse processo se chama calcular um limite. O problema da tangente leva ao cálculo diferencial e à derivada; o problema da área leva ao cálculo integral e à integral. O restante deste curso trata dos próprios limites, preparando a base dos próximos dois cursos.