Le due domande all'origine del calcolo

Sulla curva y = x², la retta per (1, 1) e (2, 4) ha pendenza 3. Spostando il secondo punto in (1.5, 2.25), la pendenza scende a 2.5.

Per una retta la pendenza è semplice

Una retta varia ovunque con lo stesso ritmo. Su f(x) = −2x − 3, a ogni passo di 1 verso destra y diminuisce di 2: la pendenza è quindi −2 in ogni punto. Su g(x) = (1/2)x + 1, y cresce di mezza unità a ogni passo; su h(x) = 2, y non cambia mai e la pendenza è 0. OpenStax apre la sezione sui tassi di variazione nel capitolo dei limiti proprio con queste tre rette, perché mostrano cosa significa un tasso di variazione quando basta un solo numero per descriverlo.

Considera ora k(x) = x². Da sinistra il grafico scende ripidamente, si appiattisce vicino all'origine e poi sale sempre più velocemente verso destra. Nessun numero da solo descrive la sua variazione: la pendenza dipende dal punto. È il problema della tangente: come trovare la pendenza di una curva in un punto? La retta che tocca la curva in quel punto, la tangente, ha la pendenza cercata, ma conosciamo un solo suo punto e per calcolare una pendenza ne servono due.

Le secanti si avvicinano alla tangente

La soluzione è usare un secondo punto sulla curva. Una retta che passa per due punti di una curva si chiama secante e ha pendenza m = (f(x) − f(a))/(x − a). Per f(x) = x² e a = 1, la secante per (2, 4) ha pendenza (4 − 1)/(2 − 1) = 3. Quella per (1.5, 2.25) ha pendenza (2.25 − 1)/0.5 = 2.5. Passando per (1.25, 1.5625), la pendenza è 2.25. Mentre il secondo punto scivola verso (1, 1), le secanti si avvicinano a un'unica retta e le loro pendenze a un unico numero, 2. Quella retta è la tangente e 2 è la sua pendenza.

Lo stesso procedimento risponde a una domanda di fisica. OpenStax lascia cadere una pietra da 64 piedi: dopo t secondi l'altezza è s(t) = −16t² + 64. La velocità media in un intervallo è la variazione di altezza divisa per quella di tempo. Su [0.49, 0.5] vale −15.84 piedi al secondo; su [0.5, 0.51] vale −16.16. La velocità istantanea a t = 0.5 deve trovarsi fra questi valori e, restringendo ancora gli intervalli, si arriva a −16. La velocità media è la pendenza di una secante, quella istantanea è la pendenza di una tangente.

Il problema dell'area

La seconda domanda riguarda l'area. Quanta area c'è fra il grafico di f(x) = x² + 1 e l'asse x, da x = 0 a x = 3? La geometria non offre una formula per una regione con il bordo superiore curvo. Puoi però stimarla con rettangoli. Dividi [0, 3] in tre parti di larghezza 1 e usa l'altezza della curva all'estremo sinistro di ciascuna: le altezze 1, 2 e 5 danno aree 1, 2 e 5, per una stima di 8. Rettangoli più stretti seguono meglio la curva; l'area esatta è il valore a cui tendono le somme quando le larghezze tendono a zero.

Entrambi i problemi si concludono allo stesso modo: calcoli qualcosa di accessibile, come la pendenza di una secante o una somma di aree rettangolari, poi chiedi cosa accade quando una distanza tende a zero. Questo procedimento si chiama passaggio al limite. Dal problema della tangente nascono il calcolo differenziale e la derivata; da quello dell'area, il calcolo integrale e l'integrale. Il resto del corso studia i limiti, per dare solide basi ai due corsi successivi.