Las dos preguntas que originaron el cálculo

En la curva y = x², la recta que pasa por (1, 1) y (2, 4) tiene pendiente 3. Mueve el segundo punto a (1.5, 2.25) y la pendiente baja a 2.5.

La pendiente de una recta es sencilla

Una recta cambia al mismo ritmo en todas partes. En f(x) = −2x − 3, cada paso de 1 hacia la derecha hace bajar y en 2, así que la pendiente es −2 en todos sus puntos. En g(x) = (1/2)x + 1, y sube media unidad por paso, y en h(x) = 2, y nunca cambia, por lo que la pendiente es 0. OpenStax comienza su sección sobre tasas de variación del capítulo de límites con estas tres rectas, porque muestran qué significa una tasa de variación cuando la respuesta es un solo número.

Ahora mira k(x) = x². Desde la izquierda, la gráfica desciende con mucha pendiente, se aplana cerca del origen y luego sube cada vez más deprisa hacia la derecha. Ningún número describe por sí solo la rapidez con la que cambia. La inclinación depende del punto donde estés. Este es el problema de la tangente: ¿cómo hallar la pendiente de una curva en un punto? La recta que toca la curva allí, la tangente, tiene la pendiente que buscamos, pero solo conocemos un punto de esa recta y necesitamos dos para calcular una pendiente.

Las secantes se acercan a la tangente

La solución es usar un segundo punto de la curva. Una recta que pasa por dos puntos de una curva es una secante, y su pendiente es m = (f(x) − f(a))/(x − a). Para f(x) = x² en a = 1, la secante que pasa por (2, 4) tiene pendiente (4 − 1)/(2 − 1) = 3. La que pasa por (1.5, 2.25) tiene pendiente (2.25 − 1)/0.5 = 2.5. Por (1.25, 1.5625), la pendiente es 2.25. Al acercar el segundo punto a (1, 1), las secantes giran hacia una misma recta y sus pendientes se acercan a un número, 2. Esa recta es la tangente y 2 es su pendiente.

La misma idea resuelve una pregunta de física. OpenStax deja caer una piedra desde 64 pies, con altura s(t) = −16t² + 64 tras t segundos. La velocidad media en un intervalo es la variación de altura dividida por la de tiempo. En [0.49, 0.5] es −15.84 pies por segundo; en [0.5, 0.51], −16.16. La velocidad instantánea en t = 0.5 debe estar entre ambas, y al reducir más los intervalos se aproxima a −16. La velocidad media es la pendiente de una secante; la instantánea, la de una tangente.

El problema del área

La segunda pregunta trata del área. ¿Qué área queda entre la gráfica de f(x) = x² + 1 y el eje x desde x = 0 hasta x = 3? La geometría no ofrece una fórmula para una región con borde superior curvo. Aun así, puedes estimarla con rectángulos. Divide [0, 3] en tres partes de anchura 1 y usa la altura de la curva en el extremo izquierdo de cada una: las alturas 1, 2 y 5 dan áreas de 1, 2 y 5, así que la estimación es 8. Los rectángulos más estrechos se ajustan mejor a la curva, y el área exacta es el valor al que se acercan sus sumas cuando las anchuras tienden a cero.

Ambos problemas terminan igual: calculas algo que ya sabes calcular (la pendiente de una secante o una suma de rectángulos) y preguntas qué ocurre al reducir una separación hacia cero. Ese proceso se llama calcular un límite. El problema de la tangente da lugar al cálculo diferencial y la derivada; el del área, al cálculo integral y la integral. El resto de este curso trata de los propios límites para que los dos cursos siguientes tengan una base firme.