Две задачи, с которых начался математический анализ

На кривой y = x² прямая через (1, 1) и (2, 4) имеет угловой коэффициент 3. Передвинь вторую точку в (1.5, 2.25), и коэффициент уменьшится до 2.5.

У прямой наклон найти легко

Прямая всюду изменяется с одной и той же скоростью. Для f(x) = −2x − 3 каждый шаг вправо на 1 уменьшает y на 2, поэтому угловой коэффициент в любой точке равен −2. У g(x) = (1/2)x + 1 значение y растёт на половину единицы за шаг, а у h(x) = 2 оно не меняется, и угловой коэффициент равен 0. Именно с этих трёх прямых OpenStax начинает раздел о скорости изменения в главе о пределах: они показывают, что означает скорость изменения, когда её можно описать одним числом.

Теперь посмотри на k(x) = x². Слева график круто спускается, около начала координат становится положе, а справа поднимается всё быстрее. Одного числа для описания скорости изменения недостаточно: крутизна зависит от выбранной точки. Так возникает задача о касательной: как найти наклон кривой в одной точке? Нужный наклон имеет касательная, которая касается кривой в этой точке. Но известна лишь одна точка касательной, а для вычисления наклона нужны две.

Секущие приближаются к касательной

Выход есть: возьмём вторую точку на самой кривой. Прямая через две точки кривой называется секущей, её угловой коэффициент m = (f(x) − f(a))/(x − a). Для f(x) = x² при a = 1 секущая через (2, 4) имеет коэффициент (4 − 1)/(2 − 1) = 3. Через (1.5, 2.25) он равен (2.25 − 1)/0.5 = 2.5, а через (1.25, 1.5625) равен 2.25. Когда вторая точка приближается к (1, 1), секущие поворачиваются к одной прямой, а их коэффициенты приближаются к одному числу, 2. Эта прямая и есть касательная, а 2 является её угловым коэффициентом.

Тот же приём отвечает на вопрос из физики. В примере OpenStax камень падает с высоты 64 фута, и через t секунд его высота s(t) = −16t² + 64. Средняя скорость за промежуток времени равна изменению высоты, делённому на изменение времени. На [0.49, 0.5] она составляет −15.84 фута в секунду, на [0.5, 0.51] составляет −16.16. Мгновенная скорость при t = 0.5 должна лежать между ними; дальнейшее сокращение промежутков указывает на −16. Средняя скорость за промежуток соответствует наклону секущей, а мгновенная скорость соответствует наклону касательной.

Задача о площади

Второй вопрос касается площади. Какова площадь между графиком f(x) = x² + 1 и осью x от x = 0 до x = 3? Для фигуры с кривой верхней границей готовой геометрической формулы нет. Но площадь можно оценить прямоугольниками. Разделим [0, 3] на три отрезка шириной 1 и возьмём высоты кривой на их левых концах: высоты 1, 2 и 5 дают площади 1, 2 и 5, всего 8. Более узкие прямоугольники точнее прилегают к кривой. Точная площадь равна тому, к чему стремятся суммы, когда ширина стремится к нулю.

Обе задачи заканчиваются одинаково: вычисляем доступную величину (наклон секущей или сумму площадей прямоугольников) и смотрим, что происходит, когда промежуток стремится к нулю. Этот процесс называется предельным переходом. Из задачи о касательной вырастают дифференциальное исчисление и производная, из задачи о площади вырастают интегральное исчисление и интеграл. Остальная часть курса посвящена самим пределам, чтобы у следующих двух курсов была прочная основа.