Предел функции

Функция (x² − 4)/(x − 2) не определена при x = 2, но при x = 1.999 даёт 3.999, а при 2.001 даёт 4.001.

Что происходит вблизи точки

Возьмём f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Подстановка x = 2 даёт 0/0, а это не число, поэтому f(2) не определено. Но одного этого замечания мало. Попробуй значения вблизи 2: f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. С обеих сторон результаты приближаются к 4. Пишем lim_x→2 f(x) = 4 и читаем: предел f(x) при x, стремящемся к 2, равен 4. Разложение на множители объясняет почему: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), поэтому при любом x, кроме 2, f(x) = x + 2. График представляет собой прямую y = x + 2 с одной выколотой точкой.

OpenStax формулирует наглядное определение так. Пусть f определена на открытом интервале, содержащем a, кроме, возможно, самой точки a. Если все значения f(x) приближаются к действительному числу L, когда x (не равный a) приближается к a, то предел f(x) при x, стремящемся к a, равен L. Важны слова «кроме, возможно, самой точки a». Предел описывает значения вблизи a, а не в самой точке. Функция может быть не определена в a, иметь там другое значение или то же самое; во всех трёх случаях предел может быть одинаковым.

x	f(x)	x	f(x)
1.9	3.9	2.1	4.1
1.99	3.99	2.01	4.01
1.999	3.999	2.001	4.001

Оценка по таблице

Стратегия OpenStax такова: составь два столбца значений x, приближающихся к a снизу и сверху, и посмотри, к чему идут результаты. Для lim_x→0 (sin x)/x при x в радианах: sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334, sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983, а для −0.1 и −0.01 значения те же, поскольку функция чётная. Значения стремятся к 1, значит, предел равен 1. Здесь нет алгебраического приёма вроде разложения на множители: свидетельством служат таблица и график, а далее результат доказывается теоремой о зажатой функции.

Таблицы могут обмануть, если довериться слишком малому числу строк. Калькулятор хранит ограниченное число цифр, и при x, очень близком к 2, может сильно округлить (x² − 4) и (x − 2). Возьми несколько строк, проверь обе стороны и по возможности дополни таблицу графиком или алгеброй. У графика обратный недостаток: он ясно показывает тенденцию, но не даёт точного значения. Вместе они помогают получить хорошую оценку; свойства пределов в разделе 4 позволят превратить многие оценки в точные ответы.

Прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2, 4) и отдельно заданным значением f(2) = 1. Предел при 2 по-прежнему равен 4.

Рисунок выше показывает то же, что график в примере 2.6 OpenStax, где g(−1) = 4, но значения около −1 стремятся к 3. Здесь функция равна x + 2 везде, кроме 2, где задано f(2) = 1. Вблизи 2 результаты всё равно приближаются к 4: предел равен 4, а значение равно 1. Предел и значение функции могут различаться. Если они совпадают, функция называется непрерывной в этой точке; об этом раздел 5.

КонтекстПредельные процессы известны давно. OpenStax отмечает, что древние математики с их помощью всё точнее оценивали площадь круга. Например, Архимед заключал круг между правильными многоугольниками с 96 сторонами, вписанным и описанным. Строгое определение предела в современном виде появилось лишь в конце 19 века. Математическим анализом активно пользовались почти два столетия, прежде чем научились точно говорить, что такое предел. Это хороший повод начать, как и тогда, с таблиц и рисунков.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Приближай x к 2 с любой стороны или нажми «Приблизить». В таблице приведены значения от f(2 ± 0.1) до f(2 ± 0.0001).

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Чему равно f(2.01)?
lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
Найди по таблице lim_x→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? (Попробуй x = 1.999 и 2.001.)
Чему равно sin(0.1)/0.1 с точностью до четырёх знаков после точки (x в радианах)?
lim_x→0 (sin x)/x = ?
g(x) = x + 2 при x ≠ 2 и g(2) = 1. Чему равен lim_x→2 g(x)?
- 4
- 1
- Не существует
- 2
Зависит ли lim_x→a f(x) от значения f(a)?
- Нет
- Да
- Только для многочленов
- Только если f(a) = 0
lim_x→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
Зачем проверять значения x с обеих сторон от a?
- С разных сторон значения могут стремиться к разным числам
- Это удваивает точность калькулятора
- Учитывается только правая сторона
- В таблице должно быть чётное число строк

Главное

lim_x→a f(x) = L: когда x приближается к a (x ≠ a), f(x) приближается к L.
Значение f(a) не влияет на предел.
Оценивай предел по таблице с обеих сторон и по графику.
0/0 в точке означает, что нужно продолжить решение, часто разложить на множители.

Источники курса (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Проверено: 2026-10-17