Односторонние и бесконечные пределы

Чуть левее 2 выражение |x − 2|/(x − 2) всегда равно −1; чуть правее 2 оно всегда равно 1. Результаты с двух сторон не совпадают.

Пределы слева и справа

Иногда с разных сторон точки функция ведёт себя по-разному, и эти случаи стоит разделить. Предел слева, lim_x→a⁻ f(x), учитывает только x меньше a. Предел справа, lim_x→a⁺ f(x), учитывает только x больше a. Для g(x) = |x − 2|/(x − 2) при любом x меньше 2 числитель равен −(x − 2), поэтому g(x) = −1; при любом x больше 2 получаем g(x) = 1. Значит, предел слева равен −1, справа равен 1.

Связь с обычным двусторонним пределом проста, и её стоит запомнить: lim_x→a f(x) = L тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны L. Для g они различаются, поэтому lim_x→2 g(x) не существует; часто пишут DNE. В OpenStax есть и кусочно заданный пример: f(x) = x + 1 при x < 2 и f(x) = x² − 4 при x ≥ 2. Слева значения стремятся к 2 + 1 = 3, справа к 4 − 4 = 0. График имеет скачок, двусторонний предел не существует.

Когда нет никакого предельного числа

Предел может не существовать и по другой причине. Посмотри на sin(1/x) около 0. При уменьшении x величина 1/x неограниченно растёт, и синус быстро растущего аргумента продолжает колебаться между −1 и 1. OpenStax берёт x = 2/π, 2/(3π), 2/(5π) и так далее: функция бесконечно чередует 1, −1, 1, −1 при всё большем приближении к 0. Значения не приближаются к одному числу ни с одной стороны, поэтому ни один односторонний предел не существует.

Бесконечные пределы и вертикальные асимптоты

Третий тип поведения: неограниченный рост. Для h(x) = 1/(x − 2)² значения при x = 2.01 и 1.99 равны 10000, а при 2.001 и 1.999 равны 1 000 000. Они не приближаются к числу, а превышают любое названное число. Пишем lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Это описание того, как не существует конечный предел, а не утверждение, что бесконечность является числом. Для 1/x около 0 направления противоположны: −∞ слева и +∞ справа.

Если хотя бы один односторонний предел в a равен +∞ или −∞, вертикальная прямая x = a является вертикальной асимптотой: график уходит вдоль неё вверх или вниз, всё ближе к прямой. У рациональных функций это часто происходит там, где знаменатель равен нулю, а числитель нет. В примере OpenStax функция 1/(x + 3)⁴ имеет вертикальную асимптоту x = −3. Но будь осторожен с нулём, делённым на ноль: у (x² − 4)/(x − 2) знаменатель равен нулю при 2, однако там выколотая точка, а не асимптота, поскольку нулевой множитель сокращается.