Limit satu sisi dan limit tak hingga

Sedikit di kiri 2, |x − 2|/(x − 2) selalu −1; sedikit di kanan 2, selalu 1. Kedua sisi tidak pernah sama.

Limit dari kiri dan dari kanan

Kadang kedua sisi suatu titik menunjukkan perilaku berbeda, sehingga perlu dipisahkan. Limit kiri, ditulis lim_x→a⁻ f(x), hanya memakai x yang lebih kecil dari a. Limit kanan, lim_x→a⁺ f(x), hanya memakai x yang lebih besar dari a. Untuk g(x) = |x − 2|/(x − 2), x di bawah 2 membuat pembilang sama dengan −(x − 2), sehingga g(x) = −1. Untuk x di atas 2, g(x) = 1. Jadi limit kiri adalah −1 dan limit kanan adalah 1.

Hubungannya dengan limit dua sisi sederhana dan layak diingat: lim_x→a f(x) = L tepat ketika kedua limit satu sisi ada dan sama dengan L. Untuk g, kedua sisi berbeda, sehingga lim_x→2 g(x) tidak ada, sering disingkat DNE. OpenStax juga memakai contoh fungsi bercabang: f(x) = x + 1 untuk x < 2 dan f(x) = x² − 4 untuk x ≥ 2. Dari kiri nilainya mendekati 2 + 1 = 3; dari kanan mendekati 4 − 4 = 0. Grafik melompat, dan limit dua sisi tidak ada.

Ketika tidak mendekati bilangan mana pun

Limit juga bisa tidak ada karena hal lain. Lihat sin(1/x) di dekat 0. Saat x mengecil, 1/x membesar tanpa batas, dan nilai sinusnya terus berayun antara −1 dan 1. OpenStax memilih x seperti 2/π, 2/(3π), 2/(5π), dan seterusnya. Fungsi bergantian bernilai 1, −1, 1, −1 selamanya, sementara x makin dekat ke 0. Nilai fungsi tidak mendekati satu bilangan dari sisi mana pun, sehingga kedua limit satu sisi tidak ada.

Limit tak hingga dan asimtot tegak

Perilaku ketiga adalah pertumbuhan tanpa batas. Untuk h(x) = 1/(x − 2)², hasil pada x = 2.01 dan 1.99 sama-sama 10 000, sedangkan pada 2.001 dan 1.999 sama-sama 1 000 000. Nilainya tidak mendekati satu bilangan, melainkan melampaui bilangan apa pun yang disebutkan. Kita menulis lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Ini menjelaskan bagaimana limit gagal ada sebagai bilangan, bukan menyatakan tak hingga sebagai bilangan. Untuk 1/x di dekat 0, kedua sisi menuju arah berlawanan: −∞ dari kiri dan +∞ dari kanan.

Jika suatu limit satu sisi di a adalah +∞ atau −∞, garis tegak x = a merupakan asimtot tegak: grafik memanjang ke atas atau ke bawah sambil makin mendekatinya. Fungsi rasional sering memilikinya ketika penyebut nol dan pembilang tidak nol. Contoh OpenStax, 1/(x + 3)⁴, memiliki asimtot tegak di x = −3. Hati-hati dengan nol per nol: (x² − 4)/(x − 2) memiliki penyebut nol di 2, tetapi ada lubang, bukan asimtot, karena faktor penyebab nol dapat dicoret.