Eenzijdige en oneindige limieten

Vlak links van 2 is |x − 2|/(x − 2) altijd −1; vlak rechts altijd 1. Beide kanten worden nooit gelijk.

Limieten van links en van rechts

Soms is het gedrag aan beide kanten van een punt verschillend. Dan helpt het om die apart te bekijken. Voor de linkerlimiet, geschreven als lim_x→a⁻ f(x), gebruik je alleen x-waarden kleiner dan a. Voor de rechterlimiet, lim_x→a⁺ f(x), alleen x-waarden groter dan a. Bij g(x) = |x − 2|/(x − 2) is de teller voor elke x kleiner dan 2 gelijk aan −(x − 2), dus g(x) = −1. Voor elke x groter dan 2 geldt g(x) = 1. De linkerlimiet is dus −1 en de rechterlimiet 1.

Het verband met de gewone tweezijdige limiet is eenvoudig en belangrijk om te onthouden: lim_x→a f(x) = L precies als beide eenzijdige limieten bestaan en gelijk zijn aan L. Bij g verschillen de kanten, dus lim_x→2 g(x) bestaat niet. In het Engels wordt dat vaak afgekort als DNE. OpenStax gebruikt ook een stuksgewijs voorbeeld: f(x) = x + 1 voor x < 2 en f(x) = x² − 4 voor x ≥ 2. Van links naderen de waarden 2 + 1 = 3; van rechts 4 − 4 = 0. De grafiek springt en de tweezijdige limiet bestaat niet.

Een sprong bij x = 2: de linkerlimiet is 3 (open cirkel) en de rechterlimiet 0, ook de waarde f(2).

Als er helemaal geen getal wordt genaderd

Een limiet kan ook op een tweede manier niet bestaan. Bekijk sin(1/x) rond 0. Als x kleiner wordt, groeit 1/x onbegrensd. De sinus van een snel groeiend getal blijft tussen −1 en 1 schommelen. OpenStax kiest x-waarden zoals 2/π, 2/(3π), 2/(5π) enzovoort. Daar neemt de functie afwisselend 1, −1, 1, −1 aan, terwijl x steeds dichter bij 0 komt. Van geen van beide kanten naderen de waarden één getal. Geen van de eenzijdige limieten bestaat dus.

Oneindige limieten en verticale asymptoten

Het derde gedrag is onbegrensde groei. Bij h(x) = 1/(x − 2)² zijn de uitkomsten bij x = 2.01 en 1.99 beide 10 000, en bij 2.001 en 1.999 zijn ze 1 000 000. Ze naderen geen getal: ze worden groter dan elk getal dat je noemt. We schrijven lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Daarmee beschrijf je hoe de limiet niet bestaat, niet dat oneindig een getal is. Bij 1/x rond 0 gaan beide kanten in tegengestelde richtingen: −∞ van links en +∞ van rechts.

Is een eenzijdige limiet bij a gelijk aan +∞ of −∞, dan is de verticale lijn x = a een verticale asymptoot. De grafiek loopt er steeds dichter langs omhoog of omlaag. Bij rationale functies komt dat vaak voor waar de noemer nul is en de teller niet. Het voorbeeld 1/(x + 3)⁴ van OpenStax heeft een verticale asymptoot bij x = −3. Let op bij nul gedeeld door nul: (x² − 4)/(x − 2) heeft bij 2 een noemer nul, maar daar zit een gat, geen asymptoot. De nul veroorzakende factor valt namelijk weg.

Drie manieren waarop een limiet in een punt niet bestaat: beide kanten naderen verschillende getallen (een sprong), de waarden blijven schommelen (sin(1/x)) of de waarden groeien onbegrensd (een verticale asymptoot). Elk gedrag ziet er anders uit in een grafiek.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

|x − 2|/(x − 2). Nader 2 van links en wissel daarna naar van rechts. De waarden blijven respectievelijk −1 en 1.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

1/(x − 2)² dicht bij de verticale asymptoot x = 2. Voor elke stap die tien keer dichterbij komt, groeien de tabelwaarden met factor 100.

lim_x→2⁻ |x − 2|/(x − 2) = ?
f(x) = x + 1 voor x < 2, x² − 4 voor x ≥ 2. Wat is de linkerlimiet bij 2?
Dezelfde functie: wat is de rechterlimiet bij 2?
Voor die functie is lim_x→2 f(x) dus:
- Bestaat niet
- 3
- 0
- 1.5
Wat is 1/(x − 2)² bij x = 2.001?
lim_x→0⁻ 1/x is:
- −∞
- +∞
- 0
- −1
Waar is de verticale asymptoot van 1/(x + 3)⁴? Geef x.
Waarom heeft sin(1/x) geen limiet bij 0?
- De functie blijft schommelen tussen −1 en 1
- De functie groeit onbegrensd
- De functie is niet gedefinieerd voor negatieve x
- De linker- en rechterlimiet zijn 1 en −1
Heeft (x² − 4)/(x − 2) een verticale asymptoot bij x = 2?
- Nee, er zit een gat
- Ja
- Alleen van rechts
- Alleen van links
Als lim_x→a⁻ f(x) = 5 en lim_x→a⁺ f(x) = 5, dan is lim_x→a f(x):
- gelijk aan 5
- niet bestaand
- gelijk aan f(a)
- gelijk aan 10

Belangrijkste punten

Voor de linkerlimiet gebruik je x < a, voor de rechterlimiet x > a.
De tweezijdige limiet bestaat precies als beide eenzijdige limieten bestaan en gelijk zijn.
Een limiet kan ontbreken door een sprong, door schommeling of door onbegrensde groei.
Een oneindige eenzijdige limiet bij a betekent dat x = a een verticale asymptoot is.

Bronnen van deze cursus (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Geraadpleegd: 2026-10-17