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Limites à gauche, à droite et infinies

Juste à gauche de 2, |x − 2|/(x − 2) vaut toujours −1 ; juste à droite, il vaut toujours 1. Les deux côtés ne coïncident jamais.

Limites à gauche et à droite

Parfois, les deux côtés d'un point donnent des résultats différents : il est utile de les distinguer. La limite à gauche, notée lim_x→a⁻ f(x), ne considère que les x inférieurs à a. La limite à droite, lim_x→a⁺ f(x), ne considère que les x supérieurs à a. Pour g(x) = |x − 2|/(x − 2), tout x inférieur à 2 donne au numérateur −(x − 2), donc g(x) = −1 ; tout x supérieur à 2 donne g(x) = 1. La limite à gauche est donc −1 et celle à droite est 1.

Le lien avec la limite usuelle est simple et mérite d'être retenu : lim_x→a f(x) = L si et seulement si les deux limites à gauche et à droite existent et valent L. Pour g, elles diffèrent : lim_x→2 g(x) n'existe donc pas, ce que l'anglais abrège souvent en DNE. OpenStax donne aussi une fonction par morceaux : f(x) = x + 1 pour x < 2 et f(x) = x² − 4 pour x ≥ 2. À gauche, les valeurs tendent vers 2 + 1 = 3 ; à droite, vers 4 − 4 = 0. La courbe présente un saut et la limite usuelle n'existe pas.

Un saut en x = 2 : la limite à gauche vaut 3 (cercle vide) et celle à droite vaut 0, qui est aussi f(2).

Quand aucune valeur ne se dégage

Une limite peut ne pas exister pour une autre raison. Observe sin(1/x) près de 0. Quand x diminue, 1/x croît sans borne, et son sinus oscille sans cesse entre −1 et 1. OpenStax choisit notamment x = 2/π, 2/(3π), 2/(5π), et ainsi de suite : la fonction alterne indéfiniment entre 1, −1, 1, −1 tandis que x se rapproche de 0. Les valeurs ne se stabilisent autour d'aucun nombre, d'aucun côté : aucune des deux limites unilatérales n'existe.

Limites infinies et asymptotes verticales

Le troisième comportement est une croissance sans borne. Pour h(x) = 1/(x − 2)², les images de x = 2.01 et 1.99 valent toutes deux 10 000, et celles de 2.001 et 1.999 valent 1 000 000. Elles ne tendent pas vers un nombre : elles dépassent tout nombre fixé. On écrit lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Cette notation décrit la manière dont la limite échappe à une valeur finie ; elle ne fait pas de l'infini un nombre. Pour 1/x près de 0, les deux côtés partent dans des directions opposées : −∞ à gauche et +∞ à droite.

Dès qu'une limite à gauche ou à droite en a vaut +∞ ou −∞, la droite x = a est une asymptote verticale : la courbe monte ou descend en s'en rapprochant toujours davantage. Les fonctions rationnelles en ont souvent une là où leur dénominateur s'annule sans que leur numérateur s'annule. L'exemple 1/(x + 3)⁴ d'OpenStax possède une asymptote verticale en x = −3. Attention à zéro sur zéro : (x² − 4)/(x − 2) a un dénominateur nul en 2, mais un trou et non une asymptote, car le facteur qui s'annule se simplifie.

Trois raisons pour lesquelles une limite peut ne pas exister en un point : les côtés tendent vers des nombres différents (un saut), les valeurs oscillent sans se stabiliser (sin(1/x)), ou elles croissent sans borne (une asymptote verticale). Chacune a un aspect différent sur un graphique.

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|x − 2|/(x − 2). Approche 2 par la gauche, puis passe à la droite : les valeurs restent à −1 et à 1.

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1/(x − 2)² près de son asymptote verticale x = 2. Les valeurs du tableau sont multipliées par 100 chaque fois que la distance est divisée par dix.

lim_x→2⁻ |x − 2|/(x − 2) = ?
f(x) = x + 1 pour x < 2, x² − 4 pour x ≥ 2. Quelle est la limite à gauche en 2 ?
Pour la même fonction, quelle est la limite à droite en 2 ?
Pour cette fonction, lim_x→2 f(x) :
- N'existe pas
- 3
- 0
- 1.5
Combien vaut 1/(x − 2)² en x = 2.001 ?
lim_x→0⁻ 1/x vaut :
- −∞
- +∞
- 0
- −1
Où se trouve l'asymptote verticale de 1/(x + 3)⁴ ? Donne x.
Pourquoi sin(1/x) n'a-t-elle pas de limite en 0 ?
- Elle oscille sans cesse entre −1 et 1
- Elle croît sans borne
- Elle n'est pas définie pour x négatif
- Ses limites à gauche et à droite valent 1 et −1
La fonction (x² − 4)/(x − 2) a-t-elle une asymptote verticale en x = 2 ?
- Non, elle a un trou
- Oui
- Seulement à droite
- Seulement à gauche
Si lim_x→a⁻ f(x) = 5 et lim_x→a⁺ f(x) = 5, alors lim_x→a f(x) :
- vaut 5
- n'existe pas
- vaut f(a)
- vaut 10

L'essentiel

La limite à gauche utilise x < a ; celle à droite utilise x > a.
La limite usuelle existe si et seulement si les deux limites à gauche et à droite existent et coïncident.
Une limite peut ne pas exister à cause d'un saut, d'oscillations ou d'une croissance sans borne.
Une limite infinie d'un côté en a signifie que x = a est une asymptote verticale.

Sources de ce cours (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Consulté le: 2026-10-17