La limite d'une fonction
La fonction (x² − 4)/(x − 2) n'est pas définie en x = 2, mais elle vaut 3.999 en x = 1.999 et 4.001 en 2.001.
Ce qui se passe près d'un point
Prends f(x) = (x² − 4)/(x − 2). En remplaçant x par 2, tu obtiens 0/0, qui n'est pas un nombre : f(2) n'est donc pas définie. Mais cela ne dit pas tout. Essaie des valeurs proches de 2 : f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. Des deux côtés, les images se rapprochent de 4. On écrit limx→2 f(x) = 4, ce qui se lit : la limite de f(x) quand x tend vers 2 est 4. La factorisation l'explique : x² − 4 = (x − 2)(x + 2), donc f(x) = x + 2 pour tout x différent de 2. La courbe est la droite y = x + 2 privée d'un point.
OpenStax formule ainsi la définition intuitive. Soit f définie sur un intervalle ouvert contenant a, sauf éventuellement en a lui-même. Si toutes les valeurs de f(x) se rapprochent du réel L lorsque x, différent de a, tend vers a, alors la limite de f(x) quand x tend vers a est L. Les mots « sauf éventuellement en a lui-même » sont essentiels. La limite décrit les valeurs près de a, jamais la valeur en a. La fonction peut ne pas être définie en a, y avoir une autre valeur ou y avoir la même valeur : dans les trois cas, la limite peut être identique.
| x | f(x) | x | f(x) |
|---|---|---|---|
| 1.9 | 3.9 | 2.1 | 4.1 |
| 1.99 | 3.99 | 2.01 | 4.01 |
| 1.999 | 3.999 | 2.001 | 4.001 |
Estimer avec un tableau
La méthode proposée par OpenStax consiste à construire deux colonnes de valeurs de x, l'une tendant vers a par valeurs inférieures, l'autre par valeurs supérieures, puis à observer les images. Pour limx→0 (sin x)/x, avec x en radians : sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334, sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983. Les valeurs pour −0.1 et −0.01 sont identiques, car la fonction est paire. Les valeurs tendent vers 1 : la limite est donc 1. Ici, pas de simplification algébrique par factorisation ; le tableau et la courbe servent d'indices. Une section ultérieure le démontre avec le théorème des gendarmes.
Un tableau peut tromper si l'on se fie à trop peu de lignes. Une calculatrice utilise un nombre limité de chiffres et, pour x extrêmement proche de 2, elle peut mal arrondir (x² − 4) et (x − 2). Utilise plusieurs lignes, regarde les deux côtés et complète le tableau par une courbe ou un calcul algébrique quand c'est possible. Une courbe a le défaut inverse : elle montre bien la tendance, mais ne donne pas de valeur exacte. Ensemble, ces outils donnent une bonne estimation ; les opérations sur les limites, dans l'unité 4, permettent souvent d'obtenir une réponse exacte.
La figure ci-dessus illustre la même idée que la courbe de l'exemple 2.6 d'OpenStax : g(−1) = 4, mais les valeurs près de −1 tendent vers 3. Ici, la fonction vaut x + 2 partout sauf en 2, où l'on a défini f(2) = 1. Près de 2, les images se rapprochent toujours de 4 : la limite vaut donc 4, tandis que la valeur vaut 1. Limite et valeur peuvent différer. Lorsqu'elles coïncident, la fonction est dite continue en ce point ; c'est le sujet de l'unité 5.
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- f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Combien vaut f(2.01) ?
- limx→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
- limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
- À l'aide d'un tableau, trouve limx→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? (Essaie x = 1.999 et 2.001.)
- Combien vaut sin(0.1)/0.1 à quatre décimales (x en radians) ?
- limx→0 (sin x)/x = ?
- g(x) = x + 2 pour x ≠ 2 et g(2) = 1. Quelle est limx→2 g(x) ?
- 4
- 1
- Elle n'existe pas
- 2
- La limite limx→a f(x) dépend-elle de la valeur f(a) ?
- Non
- Oui
- Seulement pour les polynômes
- Seulement si f(a) = 0
- limx→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
- Pourquoi examiner les valeurs de x des deux côtés de a ?
- Les deux côtés peuvent tendre vers des nombres différents
- Cela double la précision de la calculatrice
- Seul le côté droit compte
- Le tableau doit avoir un nombre pair de lignes
- limx→a f(x) = L : quand x se rapproche de a (x ≠ a), f(x) se rapproche de L.
- La valeur f(a) n'influence pas la limite.
- Estime la limite avec un tableau des deux côtés et une courbe.
- Obtenir 0/0 en un point demande de poursuivre le calcul, souvent par factorisation.
Sources de ce cours (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Consulté le: 2026-10-17