Beranda›Kalkulus›Limit

Limit suatu fungsi

Fungsi (x² − 4)/(x − 2) tidak memiliki nilai pada x = 2, tetapi pada x = 1.999 nilainya 3.999 dan pada 2.001 nilainya 4.001.

Apa yang terjadi di dekat suatu titik

Ambil f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Substitusi x = 2 menghasilkan 0/0, yang bukan bilangan, sehingga f(2) tidak terdefinisi. Namun, itu belum menggambarkan seluruh perilakunya. Coba nilai dekat 2: f(1.9) = 3.9, f(1.99) = 3.99, f(2.01) = 4.01, f(2.1) = 4.1. Dari kedua sisi, hasilnya mendekati 4. Kita menulis lim_x→2 f(x) = 4, dibaca limit f(x) saat x mendekati 2 adalah 4. Alasannya tampak setelah pemfaktoran: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), sehingga untuk semua x selain 2, f(x) = x + 2. Grafiknya adalah garis y = x + 2 dengan satu titik yang hilang.

OpenStax memberikan definisi intuitif berikut. Misalkan f terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a, dengan kemungkinan pengecualian pada a sendiri. Jika semua nilai f(x) mendekati bilangan real L saat x (tidak sama dengan a) mendekati a, limit f(x) saat x mendekati a adalah L. Bagian pentingnya ialah pengecualian pada a sendiri. Limit menggambarkan nilai di dekat a, bukan nilai tepat pada a. Fungsi bisa tidak terdefinisi di a, memiliki nilai berbeda, atau memiliki nilai yang sama dengan limit; ketiganya dapat memiliki limit yang sama.

x	f(x)	x	f(x)
1.9	3.9	2.1	4.1
1.99	3.99	2.01	4.01
1.999	3.999	2.001	4.001

Menaksir dengan tabel

Strategi OpenStax adalah membuat dua kolom nilai x, satu mendekati a dari bawah dan satu dari atas, lalu membaca arah hasilnya. Untuk lim_x→0 (sin x)/x, dengan x dalam radian: sin(0.1)/0.1 ≈ 0.998334, sin(0.01)/0.01 ≈ 0.999983. Nilai untuk −0.1 dan −0.01 sama karena fungsinya genap. Hasilnya mendekati 1, sehingga limitnya 1. Di sini tidak ada trik aljabar seperti pemfaktoran; tabel dan grafik menjadi petunjuk. Bagian selanjutnya membuktikannya dengan teorema apit.

Tabel bisa menyesatkan jika hanya memakai sedikit baris. Kalkulator memiliki jumlah digit terbatas. Untuk x yang sangat dekat dengan 2, pembulatan (x² − 4) dan (x − 2) bisa buruk. Gunakan beberapa baris, periksa kedua sisi, dan dukung tabel dengan grafik atau aljabar bila memungkinkan. Grafik memiliki kelemahan sebaliknya: pola terlihat jelas, tetapi nilai tepatnya tidak terbaca. Bersama-sama, keduanya memberi taksiran yang baik; aturan limit pada unit 4 mengubah banyak taksiran menjadi jawaban tepat.

Garis y = x + 2 dengan lubang di (2, 4) dan nilai f(2) = 1 ditempatkan di tempat lain. Limit di 2 tetap 4.

Gambar di atas menunjukkan hal yang sama dengan Contoh 2.6 OpenStax, saat g(−1) = 4 tetapi nilai di dekat −1 mendekati 3. Di sini fungsi sama dengan x + 2 di semua tempat kecuali pada 2, dengan f(2) = 1. Di dekat 2, hasil tetap mendekati 4, sehingga limitnya 4 sementara nilai fungsinya 1. Limit dan nilai fungsi bisa berbeda. Jika keduanya sama, fungsi disebut kontinu pada titik tersebut, yang akan dibahas di unit 5.

Latar belakangProses limit sudah lama dikenal. OpenStax mencatat bahwa matematikawan awal memakainya untuk memperoleh pendekatan luas lingkaran yang makin baik. Archimedes, misalnya, mengapit lingkaran dengan dua segi banyak beraturan bersisi 96, satu di dalam dan satu di luar. Definisi formal limit seperti sekarang baru muncul pada akhir abad 19. Kalkulus telah banyak dipakai selama hampir dua abad sebelum limit dapat dijelaskan secara tepat. Itu alasan yang baik untuk memulai, seperti mereka dahulu, dengan tabel dan gambar.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Geser x menuju 2 dari salah satu sisi, atau tekan Dekati. Tabel memuat f(2 ± 0.1) hingga f(2 ± 0.0001).

f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Berapa f(2.01)?
lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3) = ?
lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = ?
Dengan tabel, lim_x→2 (x³ − 8)/(x − 2) = ? (Coba x = 1.999 dan 2.001.)
Berapa sin(0.1)/0.1 hingga empat angka di belakang titik desimal (x dalam radian)?
lim_x→0 (sin x)/x = ?
g(x) = x + 2 untuk x ≠ 2 dan g(2) = 1. Berapa lim_x→2 g(x)?
- 4
- 1
- Tidak ada
- 2
Apakah lim_x→a f(x) bergantung pada nilai f(a)?
- Tidak
- Ya
- Hanya untuk polinom
- Hanya jika f(a) = 0
lim_x→−1 (x² + 3x + 2)/(x + 1) = ?
Mengapa perlu memeriksa nilai x pada kedua sisi a?
- Kedua sisi mungkin mendekati bilangan yang berbeda
- Akurasi kalkulator menjadi dua kali lipat
- Hanya sisi kanan yang dihitung
- Tabel harus memiliki jumlah baris genap

Poin penting

lim_x→a f(x) = L: saat x mendekati a (x ≠ a), f(x) mendekati L.
Nilai f(a) tidak memengaruhi limit.
Taksir dengan tabel dari kedua sisi dan dengan grafik.
Bentuk 0/0 pada suatu titik berarti perlu langkah tambahan, biasanya pemfaktoran.

Sumber kursus ini (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Diperiksa: 2026-10-17