Limit
Lima unit tentang gagasan yang menyatukan kalkulus. Mulai dari dua pertanyaan yang melahirkan kalkulus, yaitu gradien kurva dan luas di bawahnya. Setelah itu, taksir limit dari tabel dan grafik, pelajari limit satu sisi dan limit tak hingga, hitung nilai tepat dengan aturan limit, lalu bahas kekontinuan. Setiap unit menyediakan laboratorium kalkulus untuk menggeser x menuju suatu titik atau memperpendek garis sekan sambil mengamati nilai yang makin mendekati satu bilangan.
Sebelum mulai
Limit dihitung pada fungsi seperti (x² − 4)/(x − 2), jadi kamu perlu notasi fungsi dari Fungsi dan pemfaktoran yang dilatih di Persamaan dan fungsi kuadrat. Akar kuadrat dan gradien garis juga muncul di awal. Tabel desimal yang panjang dikerjakan lab kalkulus, jadi kamu bisa fokus pada apa yang didekati angka-angka itu.
Setelah selesai
Kamu akan bisa menjelaskan bagaimana garis potong pada y = x² mendekati garis singgung, memperkirakan limit dari tabel tempat 3.999 dan 4.001 mendekati 4, dan membedakan limit sepihak. Kamu bisa mencari asimtot vertikal, mengubah 0/0 menjadi 1/6 yang eksak dengan hukum limit, memakai teorema apit, dan menunjukkan bahwa x³ − x − 1 memotong nol di antara 1 dan 2.
- 1Dua pertanyaan di balik kalkulusPada kurva y = x², garis melalui (1, 1) dan (2, 4) memiliki gradien 3. Geser titik kedua ke (1.5, 2.25), dan gradiennya turun menjadi 2.5.
- 2Limit suatu fungsiFungsi (x² − 4)/(x − 2) tidak memiliki nilai pada x = 2, tetapi pada x = 1.999 nilainya 3.999 dan pada 2.001 nilainya 4.001.
- 3Limit satu sisi dan limit tak hinggaSedikit di kiri 2, |x − 2|/(x − 2) selalu −1; sedikit di kanan 2, selalu 1. Kedua sisi tidak pernah sama.
- 4Aturan limitSubstitusi x = 9 ke (√x − 3)/(x − 9) menghasilkan 0/0. Kalikan pembilang dan penyebut dengan √x + 3, dan limitnya ternyata tepat 1/6.
- 5Kekontinuanf(x) = x³ − x − 1 bernilai −1 pada x = 1 dan 5 pada x = 2. Karena grafiknya tidak terputus, pasti melewati nol di antaranya.
Sumber kursus ini (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Diperiksa: 2026-10-17