Turunan
Enam unit tentang turunan, yaitu gradien kurva di satu titik. Kamu mendefinisikannya sebagai limit gradien garis sekan, membacanya sebagai fungsi baru dengan grafiknya sendiri, mempelajari aturan untuk menghitungnya dengan cepat, menggunakannya untuk kecepatan dan percepatan, lalu mencari titik tertinggi dan terendah grafik. Di laboratorium kalkulus, kamu dapat mendekatkan garis sekan menjadi garis singgung dan menyeret garis singgung sepanjang kurva sambil melihat perubahan gradiennya.
Tentang kursus ini
Dari semua persegi panjang dengan keliling 40, yang luasnya paling besar adalah persegi 10 kali 10. Batu yang dijatuhkan dari ketinggian 64 kaki menyentuh tanah pada t = 2 dengan kecepatan 64 kaki per detik. Kedua jawaban berasal dari gagasan yang sama: turunan, yaitu gradien kurva di satu titik. Kursus ini membangunnya dari dasar, dimulai dari garis sekan dari x = 1 ke x = 1 + h pada f(x) = x², yang gradiennya tepat 2 + h, sehingga ketika h dibiarkan mengecil, tersisa 2.
Keenam unitnya berjalan dari definisi sampai pemakaian. Mendefinisikan turunan datang lebih dulu, lalu turunan sebagai fungsi: untuk x², satu rumus f′(x) = 2x memberi −6 di x = −3, 0 di dasar, dan 6 di x = 3. Aturan pangkat menyusul, jadi turunan x¹⁰ adalah 10x⁹ tanpa perlu limit. Aturan hasil kali, hasil bagi, dan rantai datang berikutnya, dan aturan rantai memberi turunan (3x + 1)⁴ dalam satu baris, bukan menjabarkan lima suku. Laju perubahan mengubah ketinggian menjadi kecepatan, dan unit terakhir mencari gradien nol untuk menemukan titik tertinggi dan terendah. Di lab kalkulus kamu menyeret titik sehingga garis sekan menyusut menjadi garis singgung, dan titik ungu pada kurva turunan yang putus-putus berada di ketinggian gradien yang sedang kamu baca. Dengan f(x) = x³ − 3x kamu bisa menyeret melewati puncak dan lembah dan melihat gradiennya mencapai nol.
Sebelum mulai
Turunan didefinisikan sebagai limit gradien garis potong, jadi mulailah dari Limit. Terbiasa dengan eksponen, penjabaran kurung, dan gradien garis membantu sepanjang kursus, dan di unit aturan hasil kali, hasil bagi, dan rantai, sinus dan kosinus juga diturunkan, jadi sedikit akrab dengan fungsi-fungsi itu berguna.
Setelah selesai
Setelah selesai, kamu bisa mencari turunan x² dari hasil bagi selisih, membaca f′(x) = 2x sebagai gradien untuk setiap x, dan menurunkan x¹⁰ dengan aturan pangkat. Kamu akan memakai aturan hasil kali, hasil bagi, dan rantai, mengubah rumus tinggi menjadi kecepatan dan percepatan batu yang dijatuhkan, dan menunjukkan bahwa persegi 10 kali 10 punya luas terbesar untuk keliling 40.
- 1Definisi turunanUntuk f(x) = x², gradien garis sekan dari x = 1 ke x = 1 + h tepat sama dengan 2 + h. Ketika h mendekati nol, yang tersisa hanya 2.
- 2Turunan sebagai fungsiGradien y = x² adalah −6 di x = −3, 0 di titik terbawah, dan 6 di x = 3. Satu rumus, f′(x) = 2x, memberikan semuanya.
- 3Aturan pangkat dan aturan dasarTurunan x¹⁰ adalah 10x⁹. Turunkan pangkat menjadi faktor di depan, lalu kurangi pangkatnya satu; tidak perlu menghitung limit.
- 4Aturan perkalian, pembagian, dan rantaiMenguraikan (3x + 1)⁴ menghasilkan lima suku aljabar. Aturan rantai memberikan turunannya, 12(3x + 1)³, dalam satu baris.
- 5Turunan sebagai laju perubahanBatu yang dijatuhkan dari ketinggian 64 kaki memiliki ketinggian −16t² + 64. Turunkan sekali untuk memperoleh kecepatannya, −32t; batu menyentuh tanah pada t = 2 dengan kelajuan 64 kaki per detik.
- 6Maksimum dan minimumDi antara semua persegi panjang berkeliling 40, luas terbesar dimiliki persegi berukuran 10 kali 10. Persegi itu dapat ditemukan dengan turunan, yaitu dengan mencari titik bergradien nol.
Sumber kursus ini (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Diperiksa: 2026-10-17