Derivadas
Seis unidades sobre a derivada, a inclinação de uma curva em um único ponto. Você a define como limite de inclinações de secantes, passa a tratá-la como uma nova função com gráfico próprio, aprende regras que agilizam os cálculos e a usa para estudar velocidade e aceleração. Por fim, encontra os pontos mais altos e mais baixos de um gráfico. No laboratório de cálculo, você pode aproximar uma secante da tangente e arrastar uma reta tangente pela curva enquanto a inclinação é atualizada.
Sobre este curso
De todos os retângulos de perímetro 40, o de maior área é o quadrado de 10 por 10. Uma pedra solta de 64 pés de altura chega ao chão em t = 2, a 64 pés por segundo. As duas respostas vêm da mesma ideia: a derivada, a inclinação de uma curva em um único ponto. O curso a constrói do zero, começando pela secante de x = 1 a x = 1 + h em f(x) = x², cuja inclinação é exatamente 2 + h, de modo que, ao deixar h diminuir, sobra 2.
As seis unidades vão da definição ao uso. Definir a derivada vem primeiro, depois a derivada como função: para x², uma só fórmula f′(x) = 2x dá −6 em x = −3, 0 no ponto mais baixo e 6 em x = 3. A regra da potência vem em seguida, e assim a derivada de x¹⁰ é 10x⁹, sem precisar de limite. As regras do produto, do quociente e da cadeia vêm depois, e a regra da cadeia dá a derivada de (3x + 1)⁴ em uma linha, em vez de expandir cinco termos. As taxas de variação transformam altura em velocidade, e a última unidade procura inclinações iguais a zero para achar os pontos mais altos e mais baixos. No laboratório de cálculo você arrasta um ponto para que uma secante encolha até virar tangente, e um ponto roxo na curva tracejada da derivada fica na altura da inclinação que você está lendo. Com f(x) = x³ − 3x, você pode arrastar sobre o pico e o vale e ver a inclinação chegar a zero.
Antes de começar
A derivada é definida como o limite de inclinações de secantes, então comece por Limites. Estar à vontade com expoentes, com a expansão de parênteses e com a inclinação de uma reta ajuda em todo o curso, e na unidade sobre as regras do produto, do quociente e da cadeia também se derivam seno e cosseno, então vale conhecer um pouco essas funções.
Ao terminar
Depois você vai poder achar a derivada de x² a partir do quociente de diferenças, ler f′(x) = 2x como uma inclinação para cada x e derivar x¹⁰ com a regra da potência. Vai usar as regras do produto, do quociente e da cadeia, transformar uma fórmula de altura em velocidade e aceleração de uma pedra que cai e mostrar que o quadrado de 10 por 10 tem a maior área para perímetro 40.
- 1Definição de derivadaPara f(x) = x², a inclinação da secante entre x = 1 e x = 1 + h é exatamente 2 + h. Quando h tende a zero, sobra apenas 2.
- 2A derivada como funçãoA inclinação de y = x² é −6 em x = −3, 0 no ponto mais baixo e 6 em x = 3. Uma única fórmula, f′(x) = 2x, fornece todas elas.
- 3Regra da potência e regras básicasA derivada de x¹⁰ é 10x⁹. Passe o expoente para a frente e subtraia um dele; não é preciso calcular um limite.
- 4Regras do produto, do quociente e da cadeiaExpandir (3x + 1)⁴ produz cinco termos algébricos. A regra da cadeia fornece sua derivada, 12(3x + 1)³, em uma linha.
- 5Derivadas como taxas de variaçãoUma pedra solta de 64 pés tem altura −16t² + 64. Derive uma vez e você obtém a velocidade, −32t; ela chega ao chão em t = 2, a 64 pés por segundo.
- 6Máximos e mínimosEntre todos os retângulos de perímetro 40, o de maior área é o quadrado de 10 por 10. Com a derivada, você o encontra procurando uma inclinação nula.
Fontes deste curso (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Data de verificação: 2026-10-17