Derivadas como taxas de variação

Uma pedra solta de 64 pés tem altura −16t² + 64. Derive uma vez e você obtém a velocidade, −32t; ela chega ao chão em t = 2, a 64 pés por segundo.

Posição, velocidade e aceleração

Se s(t) é a posição de um objeto que se move em linha reta no instante t, sua velocidade é v(t) = s′(t), a taxa instantânea de variação da posição. A velocidade tem sinal: positivo quando o objeto se move no sentido positivo e negativo no sentido contrário. A rapidez é o valor absoluto |v(t)|, sem considerar o sentido. A aceleração é a(t) = v′(t) = s″(t), a taxa de variação da velocidade. O OpenStax reúne essas ideias na seção 3.4 e as aplica a objetos em queda e lançamentos.

Considere a pedra do curso de limites, s(t) = −16t² + 64 pés. Sua velocidade é v(t) = −32t pés por segundo. Em t = 0.5, ela vale −16, o número indicado pelas inclinações das secantes. A pedra chega ao chão quando s(t) = 0: 16t² = 64, t = 2 segundos. Nesse instante, sua velocidade é v(2) = −64 pés por segundo, e a rapidez é 64 pés por segundo. A aceleração é a(t) = −32 pés por segundo ao quadrado em todos os instantes, o efeito constante da gravidade nessas unidades. Os sinais negativos indicam o mesmo sentido: para baixo.

Um lançamento para cima

Um exercício do OpenStax lança uma pedra do chão a 15 metros por segundo, com altura h(t) = 15t − 4.9t² metros. Sua velocidade é v(t) = 15 − 9.8t. Em t = 1, ela ainda sobe a 5.2 metros por segundo. Para de subir quando v(t) = 0, em t = 15/9.8 ≈ 1.53 segundos. Esse é o ponto mais alto: h ≈ 11.48 metros. Depois, v é negativa e a pedra cai. A aceleração permanece em −9.8 metros por segundo ao quadrado, o valor de g usado no exercício.

Observe o método do último cálculo: o ponto mais alto ocorre onde a velocidade, uma derivada, vale zero. É uma prévia da unidade 6. Note também que taxas médias e instantâneas respondem a perguntas diferentes. A velocidade média da pedra durante toda a queda é (0 − 64)/2 = −32 pés por segundo, enquanto a velocidade instantânea vai de 0 no início a −64 no fim.

Além do movimento

Toda grandeza que varia com outra tem uma derivada com significado. Se P(t) é uma população, P′(t) é sua taxa de crescimento em indivíduos por ano. Se C(x) é o custo de produzir x itens, C′(x), o custo marginal, aproxima o custo de produzir mais um. Se V é o volume de água em um tanque, dV/dt é a vazão. Em cada caso, as unidades da derivada indicam como interpretá-la, assim como os pés por segundo no caso da pedra.