변화율로서의 도함수

64피트에서 떨어뜨린 돌의 높이는 −16t² + 64입니다. 한 번 미분하면 속도 −32t가 나오고, 돌은 t = 2에 초속 64피트로 땅에 닿습니다.

위치, 속도, 가속도

직선 위를 움직이는 물체가 있고, s(t)가 시각 t에서 그 물체의 위치라고 합시다. 그러면 물체의 속도는 v(t) = s′(t)이고, 이것은 위치의 순간 변화율입니다. 속도에는 크기뿐 아니라 부호도 있습니다. 물체가 양의 방향으로 움직이면 속도는 양수이고, 반대 방향으로 움직이면 음수입니다. 속력은 속도의 절댓값 |v(t)|로, 방향은 따지지 않습니다. 가속도는 a(t) = v′(t) = s″(t)이고, 속도가 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. OpenStax 교재는 3.4절에 이 정의들을 한데 모아 두고, 떨어지는 물체와 던진 물체를 다룰 때 씁니다.

극한 과정에서 떨어뜨렸던 돌 s(t) = −16t² + 64(피트)를 다시 봅시다. 이 돌의 속도는 v(t) = −32t(초속 피트)입니다. t = 0.5에서 속도는 −16이고, 극한 과정에서 할선 기울기들이 가리키던 바로 그 수입니다. 돌은 높이 s(t)가 0이 될 때 땅에 닿습니다. 16t² = 64를 풀면 t = 2초입니다. 땅에 닿는 순간의 속도는 v(2) = −64피트/초이므로, 그때의 속력은 초속 64피트입니다. 가속도는 어느 순간에나 a(t) = −32피트/초²입니다. 이것은 이 단위로 나타낸, 중력이 일정하게 끌어당기는 크기입니다. 여기 나온 음의 부호는 모두 같은 뜻이고, 방향이 아래쪽이라는 것을 가리킵니다.

위로 던진 물체

OpenStax 교재에는 땅에서 돌을 초속 15미터로 위로 던지는 연습문제가 있습니다. 이 문제에서는 돌의 높이를 h(t) = 15t − 4.9t²(미터)로 둡니다. 이것을 미분하면 속도는 v(t) = 15 − 9.8t입니다. 던지고 1초가 지난 t = 1에서 돌은 아직 초속 5.2미터로 올라가고 있습니다. v(t) = 0이 되는 t = 15/9.8 ≈ 1.53초에 돌은 더 이상 오르지 않고, 그 순간이 가장 높은 점입니다. 그때의 높이는 h ≈ 11.48미터입니다. 그 뒤로는 v가 음수가 되고 돌은 아래로 떨어집니다. 가속도는 처음부터 끝까지 −9.8미터/초²이고, 이것은 이 연습문제에서 쓴 g의 값입니다.

방금 한 계산의 방법을 눈여겨보세요. 날아가는 돌의 가장 높은 점은 도함수인 속도가 0이 되는 곳에서 나왔습니다. 이것이 6단원에서 다룰 내용의 첫 맛보기입니다. 평균 변화율과 순간 변화율이 서로 다른 물음을 묻는다는 것도 함께 보세요. 돌이 떨어지는 전체 시간 동안의 평균 속도는 (0 − 64)/2 = −32피트/초입니다. 그러나 순간 속도는 하나의 값이 아니라, 떨어지기 시작할 때의 0에서 땅에 닿을 때의 −64까지 계속 변합니다.

운동 말고도

어떤 양이 다른 양에 따라 변한다면, 그 도함수에는 저마다 뜻이 있습니다. 예를 들어 P(t)가 인구이면, P′(t)는 그 인구의 증가율이고 한 해에 늘어나는 개체 수로 잽니다. C(x)가 물건 x개를 만드는 데 드는 비용이면, 한계비용(marginal cost)이라고 부르는 C′(x)는 물건을 하나 더 만드는 데 드는 비용의 근삿값입니다. V가 물탱크 안에 든 물의 부피이면 dV/dt는 물이 흐르는 양의 빠르기(flow rate)입니다. 어느 경우든 도함수의 단위가 그 값을 어떻게 읽어야 하는지 알려 줍니다. 돌의 경우에 초속 피트가 그랬던 것과 같습니다.