최댓값과 최솟값

둘레가 40인 직사각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 10 × 10 정사각형입니다. 도함수는 기울기가 0인 곳을 찾아 이것을 알아냅니다.

봉우리, 골짜기, 임계점

f(c)가 c 근처의 모든 값보다 작지 않으면 함수 f는 c에서 극대(local maximum)라고 하고, 근처의 모든 값보다 크지 않으면 극소(local minimum)라고 합니다. 그래프로 보면 봉우리와 골짜기에 해당합니다. OpenStax 교재에 실린 페르마 정리는 다음과 같이 말합니다. 만약 f가 c에서 극값을 가지고, 또 c에서 미분 가능하다면 f′(c) = 0입니다. 그 이유는 그림을 보면 알 수 있습니다. 매끄러운 봉우리 꼭대기에서는 접선이 가로로 놓입니다. 그래서 극값이 될 수 있는 후보는 임계점입니다. 임계점이란 f′(c) = 0이 되거나 f′(c)가 아예 존재하지 않는 값 c를 말합니다.

하지만 임계점은 어디까지나 후보일 뿐입니다. 예를 들어 f(x) = x³은 f′(0) = 0이지만, 그래프가 0의 양쪽에서 모두 올라가므로 그곳에는 봉우리도 골짜기도 없습니다. 후보가 정말 극값인지 판단하려면 일계도함수 판정법을 씁니다. c를 지나면서 f′가 양수에서 음수로 바뀌면 f는 그곳에서 극대입니다. 음수에서 양수로 바뀌면 극소이고, 부호가 바뀌지 않으면 극대도 극소도 아닙니다. 앞에서 본 f(x) = x³ − 3x에 이 판정법을 써 봅시다. f′(x) = 3x² − 3 = 0을 풀면 x = −1과 x = 1이 나옵니다. 이 두 점을 지나며 도함수의 부호가 +, −, +로 바뀌므로 f(−1) = 2는 극댓값, f(1) = −2는 극솟값입니다.

닫힌 구간에서 가장 큰 값과 작은 값

최대·최소 정리(extreme value theorem)는 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수가 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다고 보장합니다. 이 값들은 구간 안에 있는 임계점에서 나오거나, 아니면 구간의 끝점에서 나옵니다. 여기서 닫힌 구간 방법이라는 짧은 절차가 나옵니다. 먼저 (a, b) 안에 있는 임계점을 찾습니다. 그다음 각 임계점과 두 끝점 a, b에서 f의 값을 구한 뒤, 그 가운데 가장 큰 값과 가장 작은 값을 고릅니다. 예를 들어 [0, 3]에서 x³ − 3x이면 f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18입니다. 이 세 값을 비교하면 최솟값은 −2, 최댓값은 18입니다. 이때 최댓값은 f′가 전혀 0이 아닌 끝점에서 나온다는 것을 눈여겨보세요.

최적화 문제

이번에는 OpenStax 교재 4.7절의 문제와 같은 방식으로 지어낸 예를 하나 봅시다. 직사각형 모양의 우리를 둘러칠 울타리가 40미터 있다고 합시다. 한 변을 x라 하면 다른 변은 20 − x이므로 우리의 넓이는 0 ≤ x ≤ 20에서 A(x) = x(20 − x) = 20x − x²입니다. 넓이를 미분한 A′(x) = 20 − 2x는 x = 10에서 0입니다. 끝점에서는 A(0) = A(20) = 0이고 A(10) = 100입니다. 그러니 넓이가 가장 큰, 가장 좋은 우리는 넓이 100제곱미터인 10 × 10 정사각형입니다. 이런 문제를 푸는 순서는 늘 같습니다. 먼저 구하려는 양을 변수 하나의 함수로 씁니다. 그다음 그 변수가 움직일 수 있는 구간을 정하고, 마지막으로 닫힌 구간 방법을 씁니다.