미분
한 점에서 곡선의 기울기인 도함수를 여섯 단원으로 배웁니다. 할선 기울기의 극한으로 미분계수를 정의하고, 자기 그래프를 가진 새 함수로 읽고, 빠르게 계산하는 규칙을 익히고, 속도와 가속도에 쓰고, 마지막으로 그래프의 가장 높은 점과 낮은 점을 찾습니다. 미적분 실험실에서 할선을 접선으로 줄여 보고, 기울기가 바뀌는 것을 보며 접선을 곡선을 따라 끌어 볼 수 있습니다.
이 과정에 대하여
둘레가 40인 직사각형 중 넓이가 가장 큰 것은 10 × 10 정사각형입니다. 64피트 높이에서 떨어뜨린 돌은 t = 2에서 초속 64피트로 땅에 닿습니다. 두 답은 같은 생각에서 나옵니다. 곡선 위 한 점에서의 기울기, 곧 미분입니다. 이 과정은 처음부터 쌓아 갑니다. f(x) = x²에서 x = 1부터 x = 1 + h까지의 할선 기울기는 정확히 2 + h이고, h를 줄이면 2만 남습니다.
여섯 단원은 정의에서 활용으로 나아갑니다. 먼저 미분의 정의를 배우고, 이어서 함수로서의 도함수를 봅니다. x²은 공식 f′(x) = 2x 하나로 x = −3에서 −6, 바닥에서 0, x = 3에서 6을 줍니다. 거듭제곱 법칙을 배우면 x¹⁰의 도함수는 극한 없이 10x⁹입니다. 곱, 몫, 연쇄 법칙이 뒤따르는데, 연쇄 법칙은 (3x + 1)⁴을 다섯 항으로 전개하지 않고 한 줄로 미분하게 해 줍니다. 변화율 단원은 높이를 속도로 바꾸고, 마지막 단원은 기울기가 0인 곳을 찾아 가장 높은 곳과 낮은 곳을 구합니다. 미적분 실험실에서는 점을 끌어 할선이 접선으로 줄어드는 모습을 보며, 점선 도함수 곡선 위의 보라색 점이 지금 읽는 기울기의 높이에 놓입니다. f(x) = x³ − 3x에서는 봉우리와 골짜기 위로 점을 끌어 기울기가 0이 되는 것을 볼 수 있습니다.
시작하기 전에
미분계수는 할선 기울기의 극한으로 정의되므로 극한부터 시작하세요. 지수, 괄호 전개, 직선의 기울기에 익숙하면 코스 내내 도움이 되고, 곱, 몫, 합성함수의 미분 단원에서는 사인과 코사인도 미분하므로 이 함수들을 조금 알아 두면 좋습니다.
마치고 나면
차분몫으로 x²의 도함수를 구하고, f′(x) = 2x를 모든 x에서의 기울기로 읽으며, 거듭제곱 법칙으로 x¹⁰을 미분할 수 있습니다. 곱, 몫, 합성함수의 미분법을 쓰고, 떨어뜨린 돌의 높이 식에서 속도와 가속도를 구하며, 둘레가 40인 직사각형 중 넓이가 가장 큰 것이 10 × 10 정사각형임을 보일 수 있습니다.
- 1미분계수의 정의f(x) = x²에서 x = 1부터 x = 1 + h까지 할선의 기울기는 정확히 2 + h입니다. h를 0으로 줄이면 2만 남습니다.
- 2도함수y = x²의 기울기는 x = −3에서 −6, 바닥에서 0, x = 3에서 6입니다. 식 하나 f′(x) = 2x가 이 값을 모두 줍니다.
- 3거듭제곱 법칙과 기본 규칙x¹⁰의 도함수는 10x⁹입니다. 지수를 앞으로 내리고 하나 줄이면 끝이고, 극한을 계산할 필요가 없습니다.
- 4곱, 몫, 합성함수의 미분(3x + 1)⁴을 전개하려면 항 다섯 개를 계산해야 합니다. 합성함수의 미분법은 그 도함수 12(3x + 1)³을 한 줄로 줍니다.
- 5변화율로서의 도함수64피트에서 떨어뜨린 돌의 높이는 −16t² + 64입니다. 한 번 미분하면 속도 −32t가 나오고, 돌은 t = 2에 초속 64피트로 땅에 닿습니다.
- 6최댓값과 최솟값둘레가 40인 직사각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 10 × 10 정사각형입니다. 도함수는 기울기가 0인 곳을 찾아 이것을 알아냅니다.
이 과정의 출처 (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
확인한 날: 2026-10-17