미분계수의 정의

f(x) = x²에서 x = 1부터 x = 1 + h까지 할선의 기울기는 정확히 2 + h입니다. h를 0으로 줄이면 2만 남습니다.

차분몫

앞의 극한 과정에서는 고정된 점 P = (a, f(a))와 움직이는 점 Q를 지나는 할선을 그리고, Q를 P 쪽으로 점점 미끄러뜨리면서 접선의 기울기를 구했습니다. 이때 두 x값 사이의 간격에 h라는 이름을 붙이면 편합니다. 그러면 점 Q는 Q = (a + h, f(a + h))로 쓸 수 있고, 할선의 기울기는 차분몫 (f(a + h) − f(a))/h입니다. 이것은 특별할 것 없는 보통의 분수입니다. h = 0 하나만 빼고 모든 h에서 정의되며, a와 a + h 사이에서 f의 평균 변화율을 잽니다.

OpenStax 교재는 a에서 f의 미분계수를 이 몫의 극한으로 정의합니다. 단, 그 극한이 존재할 때에 한해서 f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h입니다. 이 기호는 「f 프라임 a」라고 읽습니다. 그림으로 보면 이 값은 점 (a, f(a))에서 그은 접선의 기울기이고, 변화율로 보면 a에서 f의 순간 변화율입니다. 이 극한이 존재하면 f가 a에서 미분 가능하다고 말합니다. 그러면 접선 자체의 식도 바로 쓸 수 있습니다. 그 접선은 점 (a, f(a))와 기울기 f′(a)로 쓴 점-기울기 꼴 y = f(a) + f′(a)(x − a)입니다.

직접 구해 보기

예를 들어 f(x) = x²이고 a = 1인 경우를 해 봅시다. 그러면 f(1 + h) = 1 + 2h + h²이므로 f(1 + h) − f(1) = 2h + h²이고, h로 나누면 2 + h입니다. 이렇게 식을 간단히 하는 것이 요령의 전부입니다. 분모에 있던 골치 아픈 h가 약분되고, 남은 식은 h = 0을 넣어 그대로 값을 구할 수 있습니다. 그래서 f′(1) = 2입니다. (1, 1)에서의 접선은 y = 1 + 2(x − 1), 정리하면 y = 2x − 1입니다. 실제로 h = 0.1이면 할선의 기울기는 2.1, h = 0.01이면 2.01입니다. 이 값은 극한 과정에서 여러분이 손으로 직접 만든 표의 값과 맞습니다.

다른 함수도 똑같은 순서를 밟아 구할 수 있습니다. a = 1에서 f(x) = 1/x의 차분몫은 (1/(1 + h) − 1)/h입니다. 분자의 두 항을 공통분모로 통분하면 (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h)이고, h로 나누면 −1/(1 + h)이 되고, h가 0으로 가면 이 값은 −1로 다가갑니다. 그래서 x = 1에서 1/x의 기울기는 −1이고, 그 점에서 곡선은 내려가고 있습니다. 직선 f(x) = mx + b는 차분몫이 (m(a + h) + b − ma − b)/h = m으로 모든 h에서 같으니 f′(a) = m입니다. 다시 말해 직선의 미분계수는 그 직선의 기울기이고, 마땅히 그래야 하는 결과입니다.

도함수를 쓰는 방법은 여러 가지입니다. f′(a) 말고 라이프니츠가 쓴 기호 dy/dx도 있습니다. 이 기호는 「x의 작은 변화에 대한 y의 작은 변화」라는 그림을 그대로 담고 있고, 과학에서 여러분이 가장 자주 보게 될 꼴입니다. 단위도 바로 이 그림에서 따라 나옵니다. 예를 들어 s가 미터 단위 거리, t가 초 단위 시간이면 ds/dt의 단위는 초속 미터입니다. 도함수는 언제나 「입력 한 단위당 출력」이라는 단위를 가집니다. 그래서 어떤 답이든 단위를 보면 맞는지 확인하는 데 도움이 됩니다.