微分係数の定義

f(x) = x² では、x = 1 と x = 1 + h を結ぶ割線の傾きは、ちょうど 2 + h です。h を限りなく0に近づけると、2だけが残ります。

差商

極限のコースでは、固定した点 P = (a, f(a)) と動く点 Q を通る割線を考え、Q を P に近づけて接線の傾きを求めました。2つの x 座標の差を h と置くと、Q = (a + h, f(a + h)) と表せます。この割線の傾きが、差商 (f(a + h) − f(a))/h です。これは h が0以外なら定義される普通の分数で、a から a + h までの f の平均変化率を表します。

OpenStaxでは、この差商の極限が存在するとき、その値 f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h を a における f の微分係数と定義しています。f′(a) は「エフ・プライム・エー」と読みます。図形的には点 (a, f(a)) における接線の傾きで、変化率としては a における f の瞬間変化率です。この極限が存在するとき、f は a で微分可能といいます。接線の式は y = f(a) + f′(a)(x − a) です。点 (a, f(a)) と傾き f′(a) から求める直線の式になっています。

実際に求めてみましょう

f(x) = x²、a = 1 とします。f(1 + h) = 1 + 2h + h² なので、f(1 + h) − f(1) = 2h + h² となり、h で割ると 2 + h です。計算の要点は、この整理にあります。分母の h を約分すると、h = 0 を代入できる式が残ります。したがって f′(1) = 2 です。(1, 1) における接線は y = 1 + 2(x − 1)、すなわち y = 2x − 1 です。h = 0.1 なら割線の傾きは 2.1、h = 0.01 なら 2.01 で、極限のコースで作った表と一致します。

ほかの関数にも同じ手順を使えます。f(x) = 1/x、a = 1 では、差商は (1/(1 + h) − 1)/h です。分子を通分すると (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h) となります。h で割った −1/(1 + h) は −1 に近づきます。よって x = 1 における 1/x の傾きは −1 で、曲線はそこで右下がりです。直線 f(x) = mx + b では、差商はどの h に対しても (m(a + h) + b − ma − b)/h = m です。したがって f′(a) = m で、直線を微分するとその傾きになることが確かめられます。

横の変化は h、縦の変化は 2h + h² なので、割線の傾きは 2 + h です。破線の接線 y = 2x − 1 の傾きは2です。

微分にはいくつかの表記があります。f′(a) のほか、ライプニッツの記法 dy/dx は、x の小さな変化に対する y の小さな変化をイメージしやすく、科学でよく使われます。単位もこの関係から決まります。s がメートルで測る距離、t が秒で測る時間なら、ds/dt の単位はメートル毎秒です。微分の単位は常に「出力の単位／入力の単位」なので、答えの確認にも役立ちます。

読み込み中

ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

x² の a = 1 における差商です。Q をドラッグするか「h → 0」を押してください。パネルで割線の傾き 2 + h と f′(1) = 2 を比較できます。a を動かして、ほかの点も試しましょう。

f(x) = x²、a = 1、h = 0.1 のとき、差商はいくつですか？
f(x) = x² のとき、f′(3) はいくつですか？
f(x) = 3x + 5 のとき、任意の a に対する f′(a) はいくつですか？
f(x) = x² + x のとき、f′(2) はいくつですか？
y = x² の (2, 4) における接線が y = 4x + b なら、b はいくつですか？
f(x) = 1/x のとき、f′(1) はいくつですか？
f(x) = x³、a = 1、h = 0.1 のとき、差商はいくつですか？
f′(2) = −3 は、x = 2 の付近でグラフがどうなっていることを表しますか？
- 右へ1進むと下へ3下がります
- 右へ1進むと上へ3上がります
- 水平です
- 穴があります
位置 s の単位がメートル、時間 t の単位が秒のとき、ds/dt の単位は何ですか？
- メートル毎秒
- 秒毎メートル
- メートル
- メートル毎秒毎秒
f′(a) を表す式はどれですか？
- lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h
- h = 1 とした (f(a + h) − f(a))/h
- f(a)/a
- lim_h→0 f(a + h)

ポイント

差商 (f(a + h) − f(a))/h は、割線の傾きであり、平均変化率です。
f′(a) は h → 0 とした差商の極限で、接線の傾き、すなわち瞬間変化率です。
接線の式：y = f(a) + f′(a)(x − a)。
微分の単位：入力1単位当たりの出力の単位です。

このコースの出典 (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

確認日: 2026-10-17