Definire la derivata

Per f(x) = x², la pendenza della secante da x = 1 a x = 1 + h è esattamente 2 + h. Quando h tende a zero, resta soltanto 2.

Il rapporto incrementale

Nel corso sui limiti hai trovato le pendenze delle tangenti usando secanti passanti per un punto fisso P = (a, f(a)) e un punto mobile Q, facendo avvicinare Q a P. Conviene chiamare h la distanza fra le due ascisse, così Q = (a + h, f(a + h)). La pendenza della secante è allora il rapporto incrementale (f(a + h) − f(a))/h. È una normale frazione, definita per ogni h diverso da 0, e misura il tasso medio di variazione di f fra a e a + h.

OpenStax definisce la derivata di f in a come il limite di questo rapporto: f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, purché il limite esista. Si legge f primo di a. Geometricamente è la pendenza della tangente nel punto (a, f(a)); come tasso, è il tasso istantaneo di variazione di f in a. Se il limite esiste, f è derivabile in a. La tangente ha allora equazione y = f(a) + f′(a)(x − a), nella forma punto-pendenza con punto (a, f(a)) e coefficiente angolare f′(a).

Un calcolo completo

Prendi f(x) = x² e a = 1. Allora f(1 + h) = 1 + 2h + h², quindi f(1 + h) − f(1) = 2h + h² e, dividendo per h, ottieni 2 + h. Il passaggio decisivo è questa semplificazione: l'h al denominatore si elimina e ciò che resta si può valutare per h = 0. Dunque f′(1) = 2. La tangente in (1, 1) è y = 1 + 2(x − 1), cioè y = 2x − 1. Con h = 0.1 la pendenza della secante è 2.1; con h = 0.01 è 2.01, proprio come nella tabella costruita a mano nel corso sui limiti.

Gli stessi passaggi funzionano con altre funzioni. Per f(x) = 1/x in a = 1, il rapporto incrementale è (1/(1 + h) − 1)/h. Riduci il numeratore a denominatore comune: (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Dividi per h e ottieni −1/(1 + h), che tende a −1. Quindi la pendenza di 1/x in x = 1 è −1 e lì la curva scende. Per una retta f(x) = mx + b, il rapporto è (m(a + h) + b − ma − b)/h = m per ogni h, quindi f′(a) = m: la derivata di una retta è il suo coefficiente angolare, come previsto.

Ci sono diversi modi di scrivere una derivata. Oltre a f′(a), la notazione di Leibniz dy/dx richiama una piccola variazione di y divisa per una piccola variazione di x ed è quella più comune nelle scienze. Da questa idea derivano anche le unità di misura. Se s è una distanza in metri e t un tempo in secondi, ds/dt si misura in metri al secondo. Una derivata ha sempre le unità della grandezza in uscita divise per quelle della grandezza in ingresso: un buon controllo per qualsiasi risposta.